高中數學重點知識與結論分類解析
一、集合與簡易邏輯
1．集合的元素具有確定性、無序性和互異性．
2．對集合，時，必須注意到「極端」情況：或；求集合的子集時是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集．
3．對於含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為
4．「交的補等於補的並，即」；「並的補等於補的交，即」．
5．判斷命題的真假關鍵是「抓住關聯字詞」；注意：「不『或』即『且』，不『且』即『或』」．
6．「或命題」的真假特點是「一真即真，要假全假」；「且命題」的真假特點是「一假即假，要真全真」；「非命題」的真假特點是「一真一假」．
7．四種命題中「『逆』者『交換』也」、「『否』者『否定』也」．
原命題等價於逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價．反證法分為三步：假設、推矛、得果．
注意：命題的否定是「命題的非命題，也就是『條件不變，僅否定結論』所得命題」，但否命題是「既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結論作為結論的所得命題」 ．
8．充要條件
二、函式
1．指數式、對數式，，，
，，，，，，，．
2．（1）對映是「『全部射出』加『一箭一雕』」；對映中第乙個集合中的元素必有像，但第二個集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且僅有下乙個，但中元素的原像可能沒有，也可任意個）；函式是「非空數集上的對映」，其中「值域是對映中像集的子集」．
（2）函式影象與軸垂線至多乙個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個．
（3）函式影象一定是座標系中的曲線，但座標系中的曲線不一定能成為函式影象．
3．單調性和奇偶性
（1）奇函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同．
偶函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反．
注意：（1）確定函式的奇偶性，務必先判定函式定義域是否關於原點對稱．確定函式奇偶性的常用方法有：定義法、影象法等等．對於偶函式而言有：．
（2）若奇函式定義域中有0，則必有．即的定義域時，是為奇函式的必要非充分條件．
（3）確定函式的單調性或單調區間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑑定）、導數法；在選擇、填空題中還有：數形結合法（影象法）、特殊值法等等．
（4）既奇又偶函式有無窮多個（，定義域是關於原點對稱的任意乙個數集）．
（7）復合函式的單調性特點是：「同性得增，增必同性；異性得減，減必異性」．
復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」．復合函式要考慮定義域的變化。（即復合有意義）
4．對稱性與週期性（以下結論要消化吸收，不可強記）
（1）函式與函式的影象關於直線（軸）對稱．
推廣一：如果函式對於一切，都有成立，那麼的影象關於直線（由「和的一半確定」）對稱．
推廣二：函式，的影象關於直線（由確定）對稱．
（2）函式與函式的影象關於直線（軸）對稱．
（3）函式與函式的影象關於座標原點中心對稱．
推廣：曲線關於直線的對稱曲線是；
曲線關於直線的對稱曲線是．
（5）模擬「三角函式影象」得：若影象有兩條對稱軸，則必是週期函式，且一週期為．
如果是r上的週期函式，且乙個週期為，那麼．
特別：若恒成立，則．若恒成立，則．若恒成立，則．
三、數列
1．數列的通項、數列項的項數，遞推公式與遞推數列，數列的通項與數列的前項和公式的關係：（必要時請分類討論）．
注意：；．
2．等差數列中：
（1）等差數列公差的取值與等差數列的單調性．
（2）；．
（3）、也成等差數列．
（4）兩等差數列對應項和（差）組成的新數列仍成等差數列．
（5）仍成等差數列．
（6），，，，．
（7）；；．
（8）「首正」的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；
「首負」的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和；
（9）有限等差數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯絡，由數列的總項數是偶數還是奇數決定．若總項數為偶數，則「偶數項和」－「奇數項和」＝總項數的一半與其公差的積；若總項數為奇數，則「奇數項和」－「偶數項和」＝此數列的中項．
（10）兩數的等差中項惟一存在．在遇到三數或四數成等差數列時，常考慮選用「中項關係」轉化求解．
（11）判定數列是否是等差數列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、影象法（也就是說數列是等差數列的充要條件主要有這五種形式）．
3．等比數列中：
（1）等比數列的符號特徵（全正或全負或一正一負），等比數列的首項、公比與等比數列的單調性．
（2）；．
（3）、、成等比數列；成等比數列成等比數列．
（4）兩等比數列對應項積（商）組成的新數列仍成等比數列．
（5）成等比數列．
（6）．
特別：．
（7）．
（8）「首大於1」的正值遞減等比數列中，前項積的最大值是所有大於或等於1的項的積；「首小於1」的正值遞增等比數列中，前項積的最小值是所有小於或等於1的項的積；
（9）有限等比數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯絡，由數列的總項數是偶數還是奇數決定．若總項數為偶數，則「偶數項和」＝「奇數項和」與「公比」的積；若總項數為奇數，則「奇數項和」＝「首項」加上「公比」與「偶數項和」積的和．
（10）並非任何兩數總有等比中項．僅當實數同號時，實數存在等比中項．對同號兩實數的等比中項不僅存在，而且有一對．也就是說，兩實數要麼沒有等比中項（非同號時），如果有，必有一對（同號時）．在遇到三數或四數成等差數列時，常優先考慮選用「中項關係」轉化求解．
（11）判定數列是否是等比數列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法（也就是說數列是等比數列的充要條件主要有這四種形式）．
4．等差數列與等比數列的聯絡
（1）如果數列成等差數列，那麼數列（總有意義）必成等比數列．
（2）如果數列成等比數列，那麼數列必成等差數列．
（3）如果數列既成等差數列又成等比數列，那麼數列是非零常數數列；但數列是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件．
（4）如果兩等差數列有公共項，那麼由他們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數．
如果乙個等差數列與乙個等比數列有公共項順次組成新數列，那麼常選用「由特殊到一般的方法」進行研討，且以其等比數列的項為主，探求等比數列中那些項是他們的公共項，並構成新的數列．
注意：（1）公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究．但也有少數問題中研究，這時既要求項相同，也要求項數相同．（2）三（四）個數成等差（比）的中項轉化和通項轉化法．
5．數列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數列求和公式（三種形式），
②等比數列求和公式（三種形式），
③，，，．
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將「和式」中「同類項」先合併在一起，再運用公式法求和．
（3）倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）．
（4）錯位相減法：如果數列的通項是由乙個等差數列的通項與乙個等比數列的通項相乘構成，那麼常選用錯位相減法，將其和轉化為「乙個新的的等比數列的和」求解（注意：一般錯位相減後，其中「新等比數列的項數是原數列的項數減一的差」！
）（這也是等比數列前和公式的推導方法之一）．
（5）裂項相消法：如果數列的通項可「**成兩項差」的形式，且相鄰項**後相關聯，那麼常選用裂項相消法求和．常用裂項形式有：
①，②，
特別宣告：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關係，必要時分類討論．
（6）通項轉換法。
四、三角函式
1．終邊與終邊相同（的終邊在終邊所在射線上）．
終邊與終邊共線（的終邊在終邊所在直線上）．
終邊與終邊關於軸對稱．
終邊與終邊關於軸對稱．
終邊與終邊關於原點對稱．
一般地：終邊與終邊關於角的終邊對稱．
與的終邊關係由「兩等分各象限、一二三四」確定．
2．弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度（1rad）．
3．三角函式符號特徵是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正．
注意：，
，．4．三角函式線的特徵是：正弦線「站在軸上（起點在軸上）」、余弦線「躺在軸上（起點是原點）」、正切線「站在點處（起點是）」．務必重視「三角函式值的大小與單位圓上相應點的座標之間的關係，『正弦』 『縱座標』、『余弦』 『橫座標』、『正切』 『縱座標除以橫座標之商』」；務必記住：單位圓中角終邊的變化與值的大小變化的關係．為銳角．
5．三角函式同角關係中，平方關係的運用中，務必重視「根據已知角的範圍和三角函式的取值，精確確定角的範圍，並進行定號」；
6．三角函式誘導公式的本質是：奇變偶不變，符號看象限．
7．三角函式變換主要是：角、函式名、次數、係數（常值）的變換，其核心是「角的變換」!
角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換．
如，，，，等．
常值變換主要指「1」的變換：
等．三角式變換主要有：三角函式名互化（切割化弦）、三角函式次數的降公升（降次、公升次）、運算結構的轉化（和式與積式的互化）．解題時本著「三看」的基本原則來進行:「看角、看函式、看特徵」,基本的技巧有:
巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次．
注意：和（差）角的函式結構與符號特徵；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（公升次）公式中的符號特徵．「正余弦『三兄妹—』的聯絡」（常和三角換元法聯絡在一起
輔助角公式中輔助角的確定：（其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定）在求最值、化簡時起著重要作用．尤其是兩者係數絕對值之比為的情形．有實數解．
8．三角函式性質、影象及其變換：
（1）三角函式的定義域、值域、單調性、奇偶性、有界性和週期性
注意：正切函式、餘切函式的定義域；絕對值對三角函式週期性的影響：一般說來，某一週期函式解析式加絕對值或平方，其週期性是：
弦減半、切不變．既為週期函式又是偶函式的函式自變數加絕對值，其週期性不變；其他不定．如的週期都是, 但的週期為， y=|tanx|的週期不變，問函式y=cos|x|, ，y=cos|x|是週期函式嗎？
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