高中數學知識點總結

第一部分集合與常用邏輯用語

1.抓住集合的代表元素，及元素的「確定性、互異性、無序性」。

中元素各表示什麼？

2.注重借助數軸和韋恩**決集合問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

， 3.注意下列性質：（1）

（2）（3）德摩根定律：.

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

的取值範圍.

5.6.命題的四種形式及其相互關係是什麼？（互為逆否關係的命題是等價命題.）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真、同假.（注意命題的否定與否命題的區別）

第二部分函式與導數

7.對映是否注意到中元素的任意性和中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成對映？（一對一，多對一，允許中有元素無原象.）

8.函式的三要素是什麼？如何比較兩個函式是否相同？（定義域、對應法則、值域）

9.定義域注意復合函式的定義域：① 若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函式f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當於x∈[a,b]時，求g(x)的值域。

的定義域是 .

10. 值域 ①二次函式法（配方法）；②判別式法；③利用函式單調性；④換元法；

⑤利用均值不等式；⑥利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）； ⑦利用函式有界性（、、等）；⑧導數法等分式函式分離係數要重視

如求下列函式的最值：；；

；不等式恆成立問題、方程有解問題常轉化為函式最值、值域問題：

恆成立的最大值；恆成立的最小值；

有解的最小值；　有解的值域；

11.單調性：（1）證明單調性（法一：定義法——尤其是抽象函式；法二：導數法）

（2）求函式的單調區間---定義法、導數法、同增異減（復合函式的單調性）、影象法、運算（如：判斷的單調性）等

（3）已知單調區間，求引數的範圍或值——導數法、同增異減、影象法

*定義法判斷在區間上是增（減）函式當時

*利用導數判斷函式的單調性——確定定義域；求，令=0，解方程求它在定義域內的一切實數根；把函式的間斷點的橫座標和上面各實數根按由小到大的順序排列起來，然後用這些點將的定義域區間分成若干個小區間；確定在各小區間內的符號，從而判斷在每個小開區間內的增減性（尤其是含參函式求單調區間）

如：求的單調區間.（一模22）

如：設函式f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間。（由已知得函式的定義域為，且當時，函式在上單調遞減.

當時，函式在上單調遞減，函式在上單調遞增.）

*判斷復合函式的單調性？

. 值是3___.

上恆成立，即，得∴的最大值為3）

12. 函式的奇偶性⑴函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件；

⑵是奇函式；

⑶是偶函式；

⑷奇函式在原點有定義，則；

⑸在關於原點對稱的單調區間內：奇函式有相同的單調性，偶函式有相反的單調性；

(6)若所給函式的解析式較為複雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性；

(7)在公共定義域內：兩個奇函式的乘積是偶函式；兩個偶函式的乘積是偶函式；乙個偶函式與奇函式的乘積是奇函式.

( )

13.週期性：若存在實數，在定義域內總有，則為週期函式，是乙個週期。所有正週期中最小的稱為函式的最小正週期。如無特別說明，遇到的週期都指最小正週期。

若對定義域內的任意都有，則

的圖象關於點中心對稱週期2；的圖象關於直線軸對稱週期為2；的圖象關於點中心對稱，直線軸對稱週期4；

14.對稱性（1）函式的圖象關於對稱；

函式的圖象關於對稱；

（2）與關於________對稱.

*函式圖象（曲線）對稱性的證明(1)證明函式影象的對稱性，即證明影象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在影象上；（2）證明函式與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然；

注：①曲線c1:f(x,y)=0關於點（a,b）的對稱曲線c2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;

②曲線c1:f(x,y)=0關於直線x=a的對稱曲線c2方程為：f(2a－x, y)=0;

③曲線c1：f(x,y)=0,關於y=x+a(或y=－x+a)的對稱曲線c2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0).

15.你掌握常用的圖象變換了嗎？

對稱變換：; ;

;平移變換：

伸縮變換：ⅰ，（———縱座標不變，橫座標伸長為原來的倍；

ⅱ，（———橫座標不變，縱座標伸長為原來的倍；

翻轉變換：ⅰ———右不動，右向左翻（在左側圖象去掉）；

ⅱ———上不動，下向上翻（||在下面無圖象）；

作出：，

16.你熟練掌握常用函式的圖象和性質了嗎？

的雙曲線.

頂點座標為，，

零點式：.

二次函式問題解決需考慮的因素：開口方向；對稱軸；端點值；與座標軸交點；判別式；兩根符號。

二次函式問題解決方法：數形結合；分類討論。

應用：①「三個二次」（二次函式、二次方程、二次不等式）的關係——二次方程

②求閉區間上的最值. ③一元二次方程根的分布問題.

等由圖象記性質！（注意底數的限定！）

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什麼？

17.18.抽象函式（賦值法、結構變換法），

19. 函式零點的求法：⑴直接法（求的根）；⑵圖象法；⑶二分法.

20．導數 ⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作；

⑵常見函式的導數公式: ①；②；③；

④；⑤；⑥；⑦；

⑧。⑶導數的四則運算法則：

⑷復合函式的導數：

⑸導數的應用：①利用導數求切線：注意：

ⅰ所給點是切點嗎？ⅱ所求的是「在」還是「過」該點的切線？②利用導數判斷函式單調性（見11）；③利用導數求極值：

ⅰ求導數；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得極值；④利用導數最大值與最小值；⑤判斷方程根的個數；⑥證明不等式

21．（理科）定積分 ⑴定積分的定義：

⑵定積分的性質：① （常數）；

②；③（其中。

⑶微積分基本定理（牛頓—萊布尼茲公式）：

⑷定積分的應用：①求曲邊梯形的面積：；

1 求變速直線運動的路程：；③求變力做功：。

第三部分三角函式、三角恒等變換與解三角形

22. ⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度

⑵弧長公式：；扇形面積公式：。

23.三角函式的定義：角中邊上任意一點為，設則：

單位圓中三角函式線的定義

三角函式符號規律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦

24.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函式的圖象嗎？並由圖象寫出單調區間、對稱點、對稱軸嗎？

.. 對稱中心為

25.,則為對稱點，反之也對.

作圖象.

，。※：

26.在三角函式中求乙個角時要注意兩個方面——先求出某乙個三角函式值，再判定角的範圍.

27.在解含有正、余弦函式的問題時，注意函式的有界性.

28.三角函式圖象變換（平移變換、伸縮變換）

圖象？29.熟練掌握同角三角函式關係和誘導公式了嗎？

「奇」、「偶」指取奇、偶數.

a. 正值或負值 b. 負值 c. 非負值 d. 正值

30.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應用了嗎？

應用以上公式對三角函式式化簡.（化簡要求：項數最少、函式種類最少，分母中不含三角函式，能求值，盡可能求值.）

具體方法：（1）

（2）名的變換：化弦或化切（3）次數的變換：公升、降冪公式

（4）形的變換：統一函式形式，注意運用代數運算。

，31. 正、餘弦定理⑴正弦定理（是外接圓直徑）

注：①；②；③。

⑵餘弦定理：等三個；注：等三個。

幾個公式:⑴三角形面積公式：；

⑵內切圓半徑r=；外接圓直徑2r=

32．已知時三角形解的個數的判定：

.，33.用反三角函式表示角時要注意角的範圍.

第四部分不等式

34.不等式的性質

c35.均值不等式：，

， 36.不等式證明的基本方法（比較法、分析法、綜合法、數學歸納法、放縮法、建構函式法等）

注意等的放縮，分子（母）添（刪）項放縮，各項最小項（最大項）等（見四診21，模擬卷9等）

37.：移項通分，分子分母因式分解，的係數變為1，穿根法解得結果.

用「穿根法」解高次不等式——「奇穿，偶不穿」，從最大根的右上方開始

解含有引數的不等式要注意對字母引數的討論：

含有兩個絕對值的不等式如何去解？（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最後取各段的並集。） 38.

，證明：

（按不等號方向放縮）

第五部分數列

39．定義：

如若是等比數列，且，則＝（答：－1）

40．等差、等比數列公式、性質

（1）等差數列中an=a1+(n-1)d;sn===

等比數列中an= a1 qn-1;當q=1,sn=na1 當q≠1,sn==

2）等差數列中, an=am+ (n－m)d,;當m+n=p+q,am+an=ap+aq；

等比數列中，an=amqn-m; 當m+n=p+q ，aman=apaq；

如在等比數列中，，公比q是整數，則=___（答：512）

各項均為正數的等比數列中，若，則（答：10）。

（3）常見數列：、等差則等差;、等比則(k≠0)、、、等比;等差,則(c>0)成等比.(bn>0)等比,則(c>0且c1)等差；等差數列中成ap,，等比數列中成gp,

（4）等差三數為a-d,a,a+d;四數a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

等比三數可設a/q,a,aq；四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什麼？)

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