第五講因式分解初步及應用
1. 因式分解
把乙個多項式分解成幾個整式之積的形式叫做多項式的因式分解。因式分解是多項式乘法的逆向變形。因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法，分組分解法，配方法。
常用公式：
； ；；
2. 因式分解簡單應用
利用因式分解解決計算、求值、解方程及證明問題，解題時主要是把所研究的問題轉化為因式分解問題。對於較複雜的數值計算可利用字母代換的方法加以簡化。
【例題】
1. 提取公因式法：如果乙個多項式的各項含有公因式，把這個因式提出來，作為多項式的乙個因式，再用這個因式去除這個多項式，把所得的商作為另乙個因式，這種因式分解的方法叫做提取公因式。
提公因式法是因式分解中的首選方法，不能提公因式或者提公因式後再選擇其它方法。公因式的取法為：係數取各項整數係數的最大公約數（第一項係數為負，一般提出負號）。
字母取各項的相同字母（有時為多項式）。字母的指數取相同字母的最低指數。
例1、 分解因式:
(1)ma+mb
(2)m(a-b)+n(b-a)
(3)例2、分解下列各式：
（1）（2）
2. 公式法：由於整式乘法和因式分解是互逆的過程，把乘法公式反過來用，就可以把某些多項式分解因式，這種因式分解的方法叫做公式法。
用此法分解因式時，首先要分析該多項式是否具有可用公式的特點。例如，如果多項式是二項式，就可以考慮運用兩數和乘以兩數差的公式，；如果多項式是三項式，就可以考慮運用兩數和的平方公式，即。
例3、把下列各式分解因式：
（1）（2）；
（3）。
3. 十字相乘法：對於二次三項式的分解因式，借用乙個十字叉幫助我們分解因式，這種方法叫做十字相乘法。
二次三項式的因式分解問題，只要把二次項係數a分解成兩個因數和的積，常數項c分解成兩個因數和的積，且使+=b，則有。因為乙個整數分解成兩個因數積得形式不唯一，且要滿足上述條件，故常用十字相乘的形式進行試算，最後確定分解的結果。具體看下面例題：
；反之。
例4、分解因式：
（1）； （2）； （3）。
例5、填寫下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
4. 分組分解法：對於乙個多項式，它的各項沒有公因式，也不能直接使用公式來分解，這時一般採用分組分解法來進行因式分解。
其分組的原則是：分組後的各組變形後能有公因式可提；分組後可利用公式或十字相乘法繼續分解因式。
（1）如果多項式是四項式，則考慮二二分組或者三一分組。其中二二分組中的兩項能運用兩數和乘以兩數差的公式或提公因式；三一分組中的三項一般能運用兩數和的平方公式，一項是常數。
例6、把下列各式分解因式：（1）； （2）
（２）如果多項式是五項式，則考慮三二分組。其中的三項一般能運用兩數和的平方公式，兩項則能提公因式。
例7、把因式分解。
（３）如果多項式是六項式，則考慮三三分組或者三二一分組。其中三三分組中的三項能運用兩數和的平方公式，然後再用兩數和乘以兩數差的公式因式分解；三二一分組中的三項一般能運用兩數和的平方公式，兩項則能提公因式，一項是常數，再考慮運用兩數和的平方公式因式分解。
例8、把下列各式分解因式：
（1）； （2）
例9、將因式分解。
5. 配方法：配方法是二次三項式進行因式分解的重要方法。配方法的基本步驟是二次三項式的二次項係數化為一，加上並減去一次項係數一半的平方。
例10、把下列各式分解因式
（1）；（2）；（3）.
6. 因式分解的簡單應用
例11、計算：
(1) ;
(2); (3).
例12、已知a+b=1,求的值。
【練習作業】
1. 將下列各式分解因式：
（1）ax-3by-3ay+bx； （2）；（3）；
（4）；（5）；（6）; (7)。
2. 已知x=y+1,求多項式的值。
3. 求證：兩個連續奇數的平方差一定是8的倍數。
4. 求證：能被120整除。
5. 計算：（1）；
（2）；
(3)；
（4）.
人教版八年級因式分解經典例題詳解
初中因式分解的 例題詳解 一 提公因式法.如多項式 其中m叫做這個多項式各項的公因式，m既可以是乙個單項式，也可以是乙個多項式 二 運用公式法.運用公式法，即用 寫出結果 三 分組分解法.一 分組後能直接提公因式 例1 分解因式 例2 分解因式 練習 分解因式1 2 二 分組後能直接運用公式 例3 ...
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