14.3 因式分解
1．因式分解
(1)定義
把乙個多項式化為幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．
(2)因式分解與整式乘法的關係
因式分解與整式乘法是相反方向的變形．如：
(a＋b)(a－b)a2－b2.
即多項式乘以多項式或單項式乘以多項式(整式乘法)是「積化和」，而因式分解則是「和化積」，故可以用整式乘法來檢驗因式分解的正確性．
談重點因式分解的理解 (1)因式分解專指多項式的恒等變形，等式的左邊必須是多項式，右邊每個因式必須是整式．(2)因式分解的結果必須要以積的形式表示，否則不是因式分解．(3)因式分解中每個括號內如有同類項要合併，因式分解的結果要求必須將每個因式分解徹底．
【例1】 下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是( )．
a．a(x＋y)＝ax＋ay
b．y2－4y＋4＝y(y－4)＋4
c．10a2－5a＝5a(2a－1)
d．y2－16＋y＝(y＋4)(y－4)＋y
答案：c
點撥：a是整式乘法，b、d等號右邊不是整式積的形式，而是和的形式，不是因式分解．
2．公因式
(1)定義
多項式的各項中都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式．
(2)確定多項式的公因式的方法
確定乙個多項式的公因式時，要對數字係數和字母分別進行考慮，確定公因式時：一看係數，二看字母，三看指數．
解技巧確定公因式的方法確定公因式的方法：(1)對於係數(只考慮正數)，取各項係數的最大公約數作為公因式的係數．(2)對於字母，需考慮兩條，一是取各項相同的字母；二是各相同字母的指數取次數最低次，即取相同字母的最低次冪．最後還要根據情況確定符號．
【例2】 把多項式6a3b2－3a2b2－12a2b3分解因式時，應提取的公因式是( )．
a．3a2bb．3ab2
c．3a3b3d．3a2b2
答案：d
點撥：在多項式6a3b2－3a2b2－12a2b3中，這三項係數的最大公約數是3，各項都含有字母a，b，字母a的最低次冪是a2，字母b的最低次冪是b2，所以各項的公因式是3a2b2，故選d.
3．提公因式法
(1)定義
一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另乙個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．
(2)提公因式的步驟
①確定應提取的公因式；
②用公因式去除這個多項式，所得的商作為另乙個因式；
③把多項式寫成這兩個因式的積的形式．
警誤區提公因式要徹底 (1)所提的公因式必須是「最大公因式」，即提取公因式後，另乙個因式中不能還有公因式；(2)如果多項式的首項係數是負數，應先提出「－」號．可按下列口訣分解因式：各項有「公」先提「公」，首項有「負」先提「負」，某項提出莫漏「1」，括號裡面分到「底」．
【例3】 用提公因式法分解因式：
(1)12x2y－18xy2－24x3y3；
(2)5x2－15x＋5；
(3)－27a2b＋9ab2－18ab；
(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)．
解：(1)12x2y－18xy2－24x3y3
＝6xy·2x－6xy·3y－6xy·4x2y2
＝6xy(2x－3y－4x2y2)；
(2)5x2－15x＋5
＝5(x2－3x＋1)；
(3)－27a2b＋9ab2－18ab
＝－9ab(3a－b＋2)；
(4)2x(a－2b)－3y(2b－a)－4z(a－2b)＝2x(a－2b)＋3y(a－2b)－4z(a－2b)
＝(a－2b)(2x＋3y－4z)．
4．用平方差公式分解因式
(1)因式分解的平方差公式
兩個數的平方差，等於這兩個數的和與這兩個數的差的積．即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
這個公式就是把整式乘法的平方差公式等號左右兩邊顛倒過來．
(2)平方差公式的特點
左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；右邊是兩個數(或整式)的和與這兩個數(或整式)的差的積．凡是符合平方差公式左邊特點的多項式都可以用這個公式分解因式．
【例4】 把下列多項式分解因式：
(1)4x2－9；(2)16m2－9n2；(3)a3b－ab；(4)(x＋p)2－(x＋q)2.
解：(1)4x2－9＝(2x)2－32＝(2x＋3)(2x－3)；
(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)·(4m－3n)；
(3)a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a＋1)(a－1)；
(4)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)]·[(x＋p)－(x＋q)]
＝(2x＋p＋q)(p－q)．
5．用完全平方公式分解因式
(1)因式分解的完全平方公式
兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等於這兩個數的和(或差)的平方．即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
這個公式就是把整式乘法的完全平方公式等號左右兩邊顛倒過來．
(2)完全平方公式的特點
左邊是乙個三項式，其中兩項同號且均為乙個整式的平方(平方項)，另一項是平方項冪的底數的2倍(乘積項)，符號可正也可負，右邊是兩個整式的和(或差)的平方，中間的符號同左邊的乘積項的符號．
【例5】 把下列多項式分解因式：
(1)x2＋14x＋49；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；
(3)3ax2＋6axy＋3ay2；
(4)－x2－4y2＋4xy.
解：(1)x2＋14x＋49＝x2＋2×7x＋72＝(x＋7)2；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2(m＋n)×3＋32＝(m＋n－3)2；
(3)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(4)－x2－4y2＋4xy＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝－(x－2y)2.
6．因式分解的一般步驟
根據多項式的特點靈活選擇分解因式的方法，其一般步驟可概括為：一提、二套、三查．一提：如果多項式的各項有公因式，首先考慮提取公因式；二套：
提公因式後或沒有公因式可提，就要考慮運用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解為止，要檢查每個因式是否還可以繼續分解．
7．運用公式法分解因式易出現的錯誤
在分解因式時，多項式的項數若是兩項，且含有平方項，則考慮用平方差公式進行分解因式．若多項式是三項式，則考慮用完全平方公式．在應用公式法分解因式時常出現的錯誤是：對公式的結構特徵掌握不熟，理解不透徹，易出現符號、項數上的錯誤，二次項、一次項係數搞錯，把兩個公式混淆等．
【例6】 把下列各式分解因式：
(1)18x2y－50y3；
(2)ax3y＋axy3－2ax2y2.
解：(1)18x2y－50y3＝2y(9x2－25y2)
＝2y(3x＋5y)(3x－5y)；
(2)ax3y＋axy3－2ax2y2
＝axy(x2＋y2－2xy)＝axy(x－y)2.
【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )．
①4x2－4xy－y2；②x2＋x＋；③－1－a－；④m2n2＋4－4mn；⑤a2－2ab＋4b2；⑥x2－8x＋9.
a．1個b．2個c．3個d．4個
解析：①⑤⑥不符合完全平方公式的結構特點，不能用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方公式的特點，③提取「－」號後也符合完全平方公式的特點，所以②③④能用完全平方公式分解．①中的y2前面是「－」號，不能用完全平方公式分解．⑤中中間項有a、b的積的2倍，前後項都是平方式，但中間項不是「首尾積的2倍」，不能用完全平方公式分解．⑥也不符合．
答案：c
8．運用分解因式解決動手操作題
動手操作題是讓學生在實際操作的基礎上設計有關的問題．這類題對同學們的能力有更高的要求，有利於培養學生樂於動手、勤於思考的意識和習慣，有利於培養學生的創新能力和實踐能力．
這類題目主要考查動手操作能力，它包括裁剪、摺疊、拼圖等．不僅考查動手能力，還考查想象能力，往往與面積、對稱性質聯絡在一起．此類題目就是通過拼圖，用不同的式子表示圖形面積，以達到把多項式分解因式的目的．
【例8】 如某同學剪出若干個長方形和正方形卡片，如圖(1)所示，請運用拼圖的方法，選取圖中相應的種類和一定數量的卡片拼成乙個大長方形，使它的面積等於a2＋4ab＋3b2，並根據你拼成的圖形的面積，把此多項式分解因式．
圖(1)
圖(2)
解：因為拼成乙個面積等於a2＋4ab＋3b2的大長方形，就要用乙個邊長為a的正方形、3個邊長為b的正方形和4個邊長分別為a，b的長方形，可以拼成如圖(2)所示的圖形，由此知長方形的邊長分別為(a＋b)和(a＋3b)．由面積可知a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)．
因式分解專題訓練講解經典中考例題 一
第一講因式分解 一 多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具 因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用 初中數學教材中主要...
初中因式分解經典例題
因式分解集錦2014 8 一 因式分解定義辨析 1 下列各式從左到右的變形，那些是因式分解？那些不是？1 x y x y x2 y22 a2 4a 4 a a 4 4 3 m2n 9n n m 3 m 34 x2 4x 2 x 2 2 2 二 因式分解的方法 一 基礎篇 例1 提公因式 把下列各式進...
因式分解教後感
因式分解 1 的教後體會 本節課為因式分解第一課時，教學重點為因式分解的定義和用提取公因式法因式分解，教學難點有 一是涉及的概念多，學生對單項式 多項式 整式 分式 無理式 整式乘法 因式分解等概念易混淆 二是缺乏對代數式意義理解的意識，學習只會死模仿，很少有思辨意識 三是對代數式的恒等變形技能不熟...