§8.7 立體幾何中的向量方法(ⅰ)——證明平行與垂直
2014高考會這樣考 1.利用線線、線面、面面關係考查空間向量的運算；2.能用向量方法證明線面的平行或垂直；3.考查用向量方法解決立體幾何中的一些探索性問題．
複習高考要這樣做 1.理解直線的方向向量與平面的法向量；能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關係；3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關係的一些定理(包括三垂線定理)；4.
了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用．
1．用向量表示直線或點在直線上的位置
(1)給定乙個定點a和乙個向量a，再任給乙個實數t，以a為起點作向量＝ta，則此向量方程叫作直線l的引數方程．向量a稱為該直線的方向向量．
(2)對空間任一確定的點o，點p在直線l上的充要條件是存在唯一的實數t，滿足等式＝(1－t)＋t，叫作空間直線的向量引數方程．
2．用向量證明空間中的平行關係
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)v1∥v2.
(2)設直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l α存在兩個實數x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l αv⊥u.
(4)設平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥βu1 ∥u2.
3．用向量證明空間中的垂直關係
(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2v1⊥v2v1·v2＝0.
(2)設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥αv∥u.
(3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥βu1⊥u2u1·u2＝0.
[難點正本疑點清源]
利用空間向量解決立體幾何中的平行問題
(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量，但要注意說明這兩條直線不共線．
(2)證明線面平行的方法
①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，但要說明直線不在平面內．
②證明能夠在平面內找到乙個向量與已知直線的方向向量共線，也要說明直線不在平
麵內．③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量．同時要注意強調直線不在平面內．
1．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，則l1與l2的位置關係是
答案平行
解析 ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，又l1與l2不重合，∴l1∥l2.
2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且bp⊥平面abc，則實數x，y，z分別為
答案 ，－，4
解析由題意知，⊥，⊥.
所以即解得，x＝，y＝－，z＝4.
3．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，則下列結論正確的是( )
a．a∥c，b∥cb．a∥b，a⊥c
c．a∥c，a⊥bd．以上都不對
答案 c
解析 ∵c＝2a，∴a∥c，
又a·b＝(－2，－3,1)·(2,0,4)＝－4＋0＋4＝0，
∴a⊥b.
4．若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是
a．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)
b．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)
c．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)
d．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)
答案 a
解析兩個平面垂直時其法向量也垂直，只有選項a中的兩個向量垂直．
5．若平面α、β的法向量分別為n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則 ( )
ab．α⊥β
c．α、β相交但不垂直d．以上均不正確
答案 c
題型一利用空間向量證明平行問題
例1 如圖所示，在正方體abcd—a1b1c1d1中，m、n分別是c1c、b1c1的中點．求證：mn∥平面a1bd.
思維啟迪：證明線面平行，可以利用判定定理先證線線平行；也可以尋找平面的法向量．
證明方法一如圖所示，以d為原點，da、dc、dd1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系，設正方體的稜長為1，
則m，n，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，
於是＝，
設平面a1bd的法向量是n＝(x，y，z)．
則n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n，又mn平面a1bd，
∴mn∥平面a1bd.
方法二 ＝－＝－
＝(－)＝，
∴∥，又∵mn與da1不共線，∴mn∥da1，
又∵mn平面a1bd，a1d 平面a1bd，
∴mn∥平面a1bd.
**提高用向量證明線面平行的方法有
(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；
(2)證明該直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行；
(3)證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示；
(4)本題易錯點：只證明mn∥a1d，而忽視mn平面a1bd.
如圖所示，平面pad⊥平面abcd，abcd為正方形，△pad是直角三角形，且pa＝ad＝2，e、f、g分別是線段pa、pd、cd的中點．
求證：pb∥平面efg.
證明 ∵平面pad⊥平面abcd且abcd為正方形，
∴ab、ap、ad兩兩垂直，以a為座標原點，
建立如圖所示的空間直角座標系axyz，
則a(0,0,0)、b(2,0,0)、c(2,2,0)、d(0,2,0)、p(0,0,2)、e(0,0,1)、f(0,1,1)、g(1,2,0)．
∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，
設＝s＋t，
即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
∴ 解得s＝t＝2.
∴＝2＋2，
又∵與不共線，∴、與共面．
∵pb平面efg，∴pb∥平面efg.
題型二利用空間向量證明垂直問題
例2 如圖所示，正三稜柱abc—a1b1c1的所有稜長都為2，d為cc1的中點．求證：ab1⊥平面a1bd.
證明方法一設平面a1bd內的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實數λ，μ，使m＝λ＋μ.
令＝a，＝b，＝c，顯然它們不共面，並且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它們為空間的乙個基底，
則＝a＋c，＝a＋b，＝a－c，
m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，
·m＝(a－c)·
＝4－2μ－4λ＝0.
故⊥m，結論得證．
方法二如圖所示，取bc的中點o，連線ao.
因為△abc為正三角形，所以ao⊥bc.
因為在正三稜柱abc—a1b1c1中，平面abc⊥平面bcc1b1，
所以ao⊥平面bcc1b1.
取b1c1的中點o1，以o為原點，以，，為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系，
則b(1,0,0)，d(－1,1,0)，a1(0,2，)，
a(0,0，)，b1(1,2,0)．
設平面a1bd的法向量為n＝(x，y，z)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．
因為n⊥，n⊥，
故令x＝1，則y＝2，z＝－，
故n＝(1,2，－)為平面a1bd的乙個法向量，
而＝(1,2，－)，
所以＝n，所以∥n，
故ab1⊥平面a1bd.
**提高證明線面平行和垂直問題，可以用幾何法，也可以用向量法．用向量法的關鍵在於構造向量，再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的判定定理．若能建立空間直角座標系，其證法較為靈活方便．
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