數的整除（二）
一、內容提要
第一講介紹了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然數的特徵，本講將介紹用因式分解方法解答數的整除問題.
幾個常用的定理，公式，法則：
⑴ n個連續正整數的積能被n！整除.（n的階乘：n！＝1×2×3×…×n）.
例如：a為整數時，2a(a+1)， 6a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)， ……
⑵ 若a 且ac, 則 a(bc).
⑶ 若a, b互質，且ac, bc ， 則abc .
反過來也成立：a, b互質， abc， 則ac, bc.
例如：8和15互質，8｜a, 15|a， 則120｜a.
反過來也成立： 若120｜a. 則 8｜a, 15|a.
⑷由乘法公式（n為正整數）推得：
由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn . 得 (a－b)|(an－bn).
(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1a+b)|(a2n+1+b2n+1).
(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2na+b)|(a2n－b2n).
概括起來：齊偶數次冪的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.
齊奇數次冪的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分別含有因式a＋b或a－b.
例如（a+b）| (a6－b6), (a－b)| (a8－b8)；
(a+b)|(a5+b5)， (a－b)|(a5－b5).
二、例題
例1. 已知:整數n>2. 求證：n5－5n3+4n能被120整除..
證明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2).
∵(n－2) (n－1)n(n+1) (n＋2)是五個連續整數，能被n!整除，
∴ 120｜n5－5n3+4n.
例2. 已知：n為正整數. 求證：n3+n2+n是3的倍數.
證明：n3+n2+n＝n（2n2+3n+1）
=n(n+1)(2n+1)
n(n+1)(n+2+n－1)
= n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n－1).
∵ 3！｜n(n+1)(n+2)， 且3！｜n(n+1)(n－1)..
∴ 3｜n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n－1).
即n3+n2+n是3的倍數.
（上兩例關鍵在於創造連續整數）
例3. 求證：⑴ 33｜255＋1； ⑵ 1989｜（19901990－19881988）.
證明：⑴ 255＋1＝25×11＋111＝3211＋111.
∵(32＋1)|(3211+111 ) ， 即33｜255＋1.
⑵ 19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添兩項）
∵（1990＋1988）｜（19901990－19881990）.
即1989×2｜（19901990－19881990）.
∵ 19881990－19881988=19881988(19882－1)
＝19881988（1988＋1）（1988－1）.
即 19901990－19881988＝1989×2n＋1989×19881988×1987. （n是整數）
∴ 1989｜19901990－19881988.
例4 設n是正整數， 求證：7｜（32n+1+2n+2）.
證明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9 n+4×2 n＋3×2 n－3×2 n （添兩項）
＝（4×2 n＋3×2 n）＋（3×9 n－3×2 n）
＝（4＋3）＋3（9 n－2 n）
＝7×2 n＋3（9－2）n . （n是整數）
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