高三數學複習-----複數與三角函式解題方法集錦
近幾年來，特別是使用了新教材後，高考試題中的三角函式試題的難度有所降低，無論是選擇題、填空題，還是解答題，都是以中低檔的形式為主。考查內容主要包括三角函式的求值、三角函式的圖象和性質以及解三角形等。
高考對複數的考查也降低了難度，試題一般均為選擇題或是填空題，主要考查複數的概念和運算，在解答題中要注重複數與三角知識的綜合題。
一、三角函式的求值
例1 已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那麼sin2θ等於
a. b. - c. d.-
分析：解決這類問題的關鍵是找到已知條件與所求式子的關係，抓住三角函式式中角、函式名稱以及函式式等方面的特點，有效地進行轉化。
解：因為sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ= 1-sin22θ=,所以sin22θ=.又θ是第三象限角，故4k+2<2θ<4k+3,所以sin2θ=.
例2 （95年上海）已知tan()=3，求sin2-2cos2的值。
分析：本題考查三角函式的基本公式及其應用，建立tan()與sin2、2cos2的關係是解題的關鍵。
解：由tan()==3，得：tan=。所以即:
. 所以，sin2-2cos2=2 sin cos-2cos2=-4 sin2=-.
評說：一般地，在sin±cos、sincos、tan中，只要已知其中的任意乙個，均可求出其餘的三個。
二、三角函式的圖象和性質
例3 已知函式y=2sin(2x+)，則
（1）函式y=2sin(2x+)的圖象經過怎樣的變換可得到函式y=sinx的圖象？
（2）把函式y=2sin(2x+)的圖象在終座標不變的情況下橫座標變為原來的4倍，再向右平移個單位，則得到函式的圖象。
（3）把函式y=f(x)的圖象在縱座標不變的情況下橫座標變為原來的4倍，再向右平移個單位，得到函式y=2sin(2x+)的圖象，則f(x
分析：（1）y=2sin(2x+)→y=2sin2x→y=2sinx→y=sinx.而2sin2x=2sin[(2x-)+]=2sin[2（x-）+]，所以
把函式y=2sin(2x+)的圖象先向右平移個單位，再把圖象上各點的橫座標變為原來的2倍，最後把圖象上各點的縱座標變為原來的倍，即可得到函式y=sinx的圖象。
（2）y=2sin(2xy=2sin(x+)
y=2sin[(x-)+]=2sin(x+).
(3) y=2sin(2xy=2sin(2x+)
y=2sin(4x+).
評說：對於這類圖象變換問題，解決的關鍵是抓住問題的本質，即無論是平移變換，還是伸縮變換，無論是加上乙個常數，還是乘以乙個常數，均只能影響x，而不能涉及其他量。
例4 已知函式y=2sin(x+)(||<)的一部分圖象如圖所示，則,的值為
a. =2, =. b. =2, =.
cd. =,=.
分析：顯然，f(0)=1,即2sin=1, sin=,由||<，得： =。
又+=2，解得： =2。故選a。
評說：注意到已知的點(，0)是我們「五點作圖法」中的第五點，所以有：
+=2，這是我們解決這類問題的關鍵。
例5 (2023年全國)函式y=sin(-2x)+cos2x的最小正週期是
abc.2d.4
分析：由於y=sin(-2x)+cos2x=sincos2x-cossin2x+cos2x
=cos2x-sin2x+cos2x=cos2x-sin2x=cos(2x+), 其中為第一象限角，且tan=2-.所以函式y=sin(-2x)+cos2x的最小正週期是t=.
評說：實際上，注意到這是一道選擇題，也可以採用代入檢驗的方法解決．
例６ 求函式y=2sin(-2x)的單調遞增區間.
分析：由,解得：,
所以，函式y=2sin(-2x)的單調遞增區間為［］.
評說：我們可以選擇兩個特殊值進行檢驗。取x1=, x2=, 顯然x1f(x1)=2sin(+)=2sin=2,f(x2)=2sin(-)=2sin(-)=-2,顯然f(x1)> f(x2),與單調性的定義矛盾。
為什麼？
實際上，若設t=-2x，則y=sint, t=-2x.即函式y=2sin(-2x)是由y=sint與t=-2x復合而成的。而函式t=-2x是減函式，所以我們要求函式y=2sin(-2x)的單調遞增區間，則必須找函式y=sinx的單調遞減區間，即解不等式：
，正確的結果為：［］。
例7 （2023年全國）求函式y=cos2x+sinxcosx+1的最大值。
解：因為y=cos2x+sinxcosx+1=（1+cos2x）+sin2x+1
=sin(2x+)+，而x∈r,所以，當2x+=2k+,即x=k+時,ymax=。
評說：若在題中加上條件：「x∈[-，]」，則結果又如何呢？
例8 （2023年全國）求y=3-sin2x-3cosx函式的最小值與最大值。
解：因為y=3-sin2x-3cosx=cos2x-3cos+2，設cosx=t，則y=t2-3t+2,t∈[-1,1].當t=1時，ymin=0；當t=-1時, ymax=6。
評說：三角函式的最值問題，一般有兩種型別：一是可以化成y=asin(x+)+k的形式；二是可以通過換元變成二次函式的形式。
他們都是基本問題，應熟練掌握。特別要注意定義域對最值的影響。
三、三角形中的問題
在這類問題中，可能用到的定理有：內角和定理、正餘弦定理及大邊對大角等，解題時要注意角的取值範圍。
例9 （2023年春季）在△abc中，角a、b、c的對邊分別是a、b、c，證明：.
分析：注意所證等式的一邊是關於邊的式子，另一邊是關於角的式子，證明的關鍵是邊角互化。
證法一：由餘弦定理,有
a2=b2+c2-2bccosa, b2=c2+a2-2cacosb,兩式相減，得：
a2-b2=b2-a2-2bccosa+2cacosb，即a2-b2=cacosb-bccosa.
由正弦定理：, ,所以：
=。 證法二：由正弦定理：,。
由餘弦定理，得：
所以，=。 四、複數與三角函式
涉及到複數的三角形式或輻角主值的有關問題一般都是複數與三角函式的綜合問題。解決這類問題的關鍵是正確地將該問題轉化為有關三角函式的問題。
例10 （2023年全國）設複數z=3cos+2sin,求函式y=-argz(0<<)的最大值以及對應的值。
分析：求角的取值範圍，一般都是先求這個角的某乙個三角函式的取值範圍，再利用這個三角函式的單調性求出該角的取值範圍。
解：由0<<，得：tan>0.又z=3cos+2sin，得：0< argz<
及tan(argz)= = tan.故
tany=tan(-argz)= =.
當且僅當，即tan=時等號成立。
所以當=arctan時函式tany取得最大值.
由y=-argz(0<<)，得：y∈(-,),由於在(-,)上正切函式是增函式，故函式y=-argz(0<<)的最大值為arctan,此時=arctan。
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