第一、二章數學模型與建模
數學模型是架於數學與實際問題之間的橋梁
在數學發展的程序中無時無刻不留下數學模型的印記。
一. 模型
為了一定的目的，人們對原型的乙個抽象
例如:航空模型對飛機的乙個抽象， 城市交通圖對交通系統的乙個抽象
二. 數學模型
用數學語言，對實際問題的乙個近似描述，以便於人們用數學方法研究實際問題。
例1：牛頓定律
假設：1. 物體為質量為m的質點，忽略物體的大小和形狀。
2. 沒有阻力、摩擦力及其他外力，只有沿物體運動方向的作用力f。
引入變數 x(t)表示在t時刻物體的位置，則受力物體滿足如下運動規律，
這就是牛頓定律的數學模型。
例2：哥尼斯堡七橋問題
問題：能否從某地出發，
通過每座橋恰好一次，回到原地？
由4個結點7條邊組成的圖構成解決這個問題的數學模型。
三. 數學模型的特徵
1. 實踐性：有實際背景，有針對性。接受實踐的檢驗。
2. 應用性：注意實際問題的要求。強調模型的實用價值。
3. 綜合性：數學與其他學科知識的綜合。
四. 建模舉例
數學建模（mathematical modelling) 是一種數學的思考方法，用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫並「解決」實際問題的強有力的數學工具。
下面給出幾個數學建模的例子，重點說明：
如何做出合理的、簡化的假設；
如何選擇引數、變數，用數學語言確切的表述實際問題；
如何分析模型的結果，解決或解釋實際問題，或根據實際情況改進模型。
例 1. 管道包紮
問題：用帶子包紮管道，使帶子全部包住管道，且用料最省。
假設： 1. 直圓管，粗細一致。
2. 帶子等寬，無彈性。
3. 頻寬小於圓管截面周長。
4. 為省工, 用纏繞的方法包紮管道.
參量、變數： w ：頻寬，c：圓管截面周長，：傾斜角
（傾斜角）包紮模型
（截口）包紮模型
進一步問, 如果知道直圓管道的長度，用纏繞的方法包紮管道，需用多長的帶子？
設管道長 l, 圓管截面周長 c, 帶子寬 w, 帶子長 m.
帶長模型
問題:1. 若 l = 30m, c = 50cm, w = 30cm , 則最少要用多長的帶子才能將管道纏繞包紮上?
2. 現有帶長m1=51m，計畫將這條帶子全部用來纏繞包紮上面的管道。纏繞時允許帶子互相重疊一部分。應該如何包紮這個管道？(計算結果精確到0.001)
例2. 桌子擺放
問題：在起伏不平的地面上能不能讓桌子的四個腳同時著地？
建模證實，在一定條件下能在起伏不平的地面上放穩桌子，即能讓桌子的四個腳同時著地。
假設：1.桌子的四條腿等長，四腳連線呈平面正方形abcd。
2.地面的起伏是連續變化的。
3 地面相對平坦，使得桌子在任何位置至少有三個腳同時著地。
引數，變數。
1. 如何描述「桌子的四個腳同時著地」？
記 xa ， xb、 xc、 xd分別為腳 a，b, c, d與地面的距離。
則當xa =xb= xc=xd =0時，桌子的四個腳同時著地。
2.如何用數學的語言描述讓桌子的四腳著地？
定位：方桌的對稱中心o位於平面座標原點
移動：桌子圍繞中心轉動。 記為 ac與x軸的夾角, 則可用表示桌子移動的位置。
0. 於是桌子轉動時，4個桌腳與地面的距離是è的函式。由中心對稱性知，只需兩個距離函式表示桌子的狀態。
令 f()= xa( ) + xc( ), g()= xb( )+ xd( )
如果在位置 *桌子四腳落地, 則有 f(*) = g(*) = 0.
根據假設 2 知 f() 和 g()是連續函式，
根據假設 3 有 f() g()0， .
根據假設1有 f(1)=g(0) 和 g(1)=f(0), 其中 1=0+ 900
模型：已知f() 和 g()是連續函式，f() g()0， .
若 f(0) = 0, g(0) > 0, 則存在*使得f(*) = g(*)=0。
證明：因為 f(1)=g(0)>0, g(1)=f(0)=0,
令 h() = f() - g(), 則 h() 連續且 h(0) < 0, h(1) > 0. 所以，根據連續函式的介值定理知，存在*, 0 * 1, 使得 f(*) = g(*)=0。
問題：1. 將例4的假設1改為「桌子的四條腿等長，四腳連線呈平面長方形abcd」，試構造數學模型證實結論同樣成立。
2. 小王早上8：00從a城出發於下午5：
00到達b城。次日早上8：00他又從b城出發沿原路返回並於下午5：
00準時到達a城。試用數學模型說明a、b城之間定有乙個位置，小王在往返a、b二城的途中於相同的時間到達該位置。
例 3：交通路口紅綠燈
十字路口綠燈亮30秒，最多可以通過多少輛汽車？
假設1. 車輛相同，從靜止開始做勻加速運動。
2. 車距相同，啟動延遲時間相等。
3. 直行，不拐彎，單側，單車道。
4. 秩序良好，不堵車。
引數，變數： 車長l，車距d，加速度a，啟動延遲t， 在時刻 t 第 n 輛車的位置 sn（t）
用數軸表示車輛行駛道路,數軸的正向為汽車行駛方向, 數軸原點為紅綠燈的位置。於是, 當sn(30)>0時, 表明在第30秒第n輛車已通過紅綠燈，否則，結論相反。
模型1.停車位模型： sn（0）=–(n-1)(l+d)
2. 啟動時間模型: tn =(n-1)t
3. 行駛模型: sn(t)=sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, t>tn
引數估計 l=5m，d=2m，t=1s，a=2m/s
解: sn(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0 得 n19 且 t19=18<30=t 成立。
答案: 最多19輛車通過路口
改進：考慮到城市車輛的限速，在勻加速運動啟動後，達到最高限速後，停止加速, 按最高限速運動穿過路口。
最高限速：校園內v*=15公里/小時=4公尺/秒， 長安街上v*=40公里/小時=11公尺/秒， 環城路上 v*=60公里/小時=17公尺/秒
取最高限速 v*=11m/s， 達到最高限速時間tn*=v* /a +tn =5.5+n-1
限速行駛模型:
sn(t)=sn(0)+1/2 a(tn *–tn )2+v*(t-tn*), t>tn*
sn(0)+1/2 a (t-tn) 2tn*>t>tn
sn(0tn>t
解：sn(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0 得 n17 且 t17 * =5.5+16=21.5<30=t 成立。
結論: 該路口最多通過17輛汽車.
問題1. 調查乙個路口有關紅綠燈的資料驗證模型是否正確。
10. 調查的位置，走向，車道數，時間。
調查資料（至少三次）： 綠燈時間，通過的車數。分析資料不同的原因。
20. 分析模型的假設與實際是否一致；模型的引數與實際是否一致。
30. 分析模型的計算結果與觀測結果是否一致？為什麼？不一致時，如何修改模型。
2. 分析綠燈亮後，汽車開始以最高限速穿過路口的時間。
3. 給出穿過路口汽車的數量n隨時間t變化的數學模型。
例 4：人員疏散
建模分析意外事件發生時建築物內的人員疏散所用的時間。
假設1. 有一排k間教室，走道只有乙個出口。
2 .人員撤離時，有序、單行、（間隔）均勻、勻速。
3. 室內人員排成一佇列的時間不計，第乙個人到達教室門口的時間不計(t0=0)。
引數：第 k 間教室人數為 nk+1, 教室距離為 lk, 門寬為d，行進速度為 v，人體間隔為 d。
如果只有第k間教室有人需要撤離，第 k間教室疏散時間為 tk
模型k=1 情形：t1=(n1d+l1)/v
k=2 情形：
當第二間教室人不需等待時， 即 (l2+d)(n1+1)d， t12= t2=(n2d+l1+l2+d )/v,
當第二間教室人需要等待時， 即 ( l2 +d)<(n1+1)d, 等待時間 t= (n1+1)d/v- ( l2 +d)/v,
t12= t2 +t=[(n1+ n2+1 )d+l1] /v,
討論 模型：t=(nd+l)/v,
分析：v↗, 則t↘; d↗, 則 t↗.
令d=0, 則有t=l/v。 疏散時間與人數無關!? 假設中忽略了人體的厚度!!
補充假設 4. 人體厚度相同w
模型 t=(n(d+w)+l)/v,
分析若d=0, 則 t = (nw+l)/v 合理嗎？
繼續補充假設 5. 速度與間隔有關v=v（d）
模型 t=[n(d+w)+l]/v(d),
其中v=v(d)應滿足v(d)是d的單調非減函式，v(0)=0 且當d充分大時， v=vmax.
結論： 存在間隔 d* 和相應的速度 v*, 使得疏散的時間最短。
討論：1. 給出函式v(d)應滿足的乙個充分條件，保證存在唯一的間隔d* ，使得疏散的時間最短。
2. 通過實驗觀測給出函式v(d).
觀測資料：間隔d（厘公尺）—運動速度v（公尺/秒）
擬合函式
問題1. 如果n=400，l=30m，w=0.2m, 求最短的疏散時間。
2. 給出當 k=3 時的人員疏散模型.
五. 建模要點
1．明確研究目標，力圖從實際問題中歸納出所採用的假設和解題線索;
2．用假設簡化問題，在實際與數學簡化之間選擇恰當的平衡點, 這是建模成功與否的關鍵, 體現了建模工作的想象力和創造力;
3．進行正確的推理，在無法進行嚴格的數學推導時, 可以使用「不嚴格」的數學, 代之以對問題的分析, 歸納,模擬, 猜測, 嘗試, 事後檢驗；
4．盡量使用實際資料檢驗數學結果，並用恰當的學科語言表達數學結果。
5．在建模中，數學決不僅僅是工具,要從所作的數學推導和所得到的數學結論中指出所包含的更一般的、更深刻的內在規律。數學建模絕不僅僅以應用數學解決乙個實際問題為目標，我們更希望揭示基本自然規律，產生新的數學思想和方法。
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