問題：已知橢圓，若分別是橢圓的右頂點、上頂點，m是第一象限內的橢圓上任意一點，是座標原點，求四邊形面積的最大值．
解法1：如圖1，連線om，設且，則=．又①，，由，得（負值捨去）．當時，，當時，，所以時，有最大值，．
解法2：遇根式考慮平方，可以將繁化簡，減少計算量
對①式兩邊平方得： ②，
再令，由，得，……．
解法3：對②式沒必要用導數，可以用配方法．
對②式配方得，而，
所以，時，．於是，．
解法4：用橢圓的引數方程，目標函式就是一元函式，比較簡單．
由點m在橢圓上，
可設其中．
則．時，．
解法5：如圖2，設m到直線ab的距離為，則，因此要使最大，只需最大．直線ab的方程為：．設與ab平行的直線的方程為：．
將其帶入得，所以．
由解得．直線應在ab的上方，所以的方程為：．從而的最大值為兩平行直線間的距離．
所以， =．於是，．
解法6：借助線性規劃的思想方法來求解．
由解法1得，將看成目標函式，則變數滿足約束條件且且．如圖3，將直線向上平移至與曲線
amb相切時最大．類似於解法5，求出切點，所以
． 解法7：可以用導數來求切線的方程或切點座標．
設，曲線amb的方程是：，則切線的斜率，由得方程：，解得．
解法8：更簡單的解法.將變形為，問題實質即為已知條件等式（）,求代數式的最大值．
由不等式得，，
當且僅當時等號成立．因此，．
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