高二數學試題（理科） 命題人：董聖龍 2014-1-11
一 、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有乙個選項是符合題目要求的）
已知命題使命題集合
有個子集，下列結論：命題「」是真命題；命題「」是假命題；命題「」是真命題，正確的個數是
abcd．
已知命題p：不等式的解集為r：命題為減函式。則成立的
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件 c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
在△abc中，是角a、b、c成等差數列的
a．充分非必要條件 b．充要條件 c．必要非充分條件 d．既不充分也不必要條件
給出下列四個命題：
⑴平面內的一條直線與平面外的一條直線是異面直線；
⑵若三個平面兩兩相交，則這三個平面把空間分成7部分；
⑶用乙個面去截稜錐，底面與截面之間的部分叫稜臺；
⑷一條直線與兩條異面直線中的一條直線相交，那麼它和另一條直線可能相交、平行或異面。
其中真命題的個數是
a. 0b. 1c. 2d.3
若雙曲線與曲線有唯一的公共點，則實數m的取值集合中元素的個數為( )
a．2個b．4個c．.5個d．6個
如圖，ab是平面的斜線段，a為斜足，若點p在平面內運動，
使得△abp的面積為定值，則動點p的軌跡是( )
a.圓 b. 橢圓 c.一條直線 d.兩條平行直線
如圖,是橢圓與雙曲線的公共焦點,分別是,在第
二、四象限的公共點.若四邊形為矩形,則的離心率是
a． b． c． d．
已知乙個空間幾何體的三檢視如圖所示，根據圖中標出的尺寸可得這個幾何體的體積是（ ）
a． b． c． d．
雙曲線具有光學性質「從雙曲線的乙個焦點發出的光線被雙曲線反射後，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一焦點」，由此可得如下結論，過雙曲線c：右之上的點p處的切線平分∠f1pf2，現過原點o作的平行線交f1p於點m，則|mp|的長度為
a．bb． c． d．與p點位置有關
10. 已知正四稜錐p—abcd的四條側稜，底面四條邊及兩條對角線共10條線段，現有乙隻螞蟻沿著這10條線段從乙個頂點爬行到另乙個頂點，規定： (1)從乙個頂點爬行到另乙個頂點視為一次爬行；(2)從任一頂點向另4個頂點爬行是等可能的（若螞蟻爬行在底面對角線上時仍按原方向直行）.
則螞蟻從頂點p開始爬行4次後恰好回到頂點p的概率是
abcd.
二 、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
已知以下四個命題：
①如果是一元二次方程的兩個實根，且，那麼不等式的解集為；②若，則；
③「若，則的解集是實數集」的逆否命題；
④若函式在上遞增，且，則．
其中為真命題的是填上你認為正確的序號）．
在平行六面體abcd－a1b1c1d1中，向量，，兩兩的夾角均為60°，且||＝1，||＝2，||＝3，則
執行如圖所示的程式框圖，若輸出的n=5，則輸入整數p的最小值是
甲乙兩人玩猜數字遊戲，先由甲在心中任想乙個數字，記為，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為，且。若，則稱甲乙「心有靈犀」。現任意找兩人玩這個遊戲，則他們「心有靈犀」的概率為 。
15. 若f是雙曲線的乙個焦點，p1、p2、p3、p4是雙曲線上同一支上任意4個不同的點，且，則
三 、解答題（本大題共6小題，共75分）
16. (12分) 已知函式且給定條件
（1）求的最大值及最小值；
（2）若又給條件且的充分條件，求實數的取值範圍。
17.(12分)已知，設條件：不等式對任意的恆成立；條件：關於的不等式的解集為。
（1）分別求出使得以及為真的的取值範圍；
（2）若復合命題「或」為真，「且」為假，求實數的取值範圍。
18.已知梯形abcd中，ad∥bc，∠abc =∠bad =，ab=bc=2ad=4，e、f分別是ab、cd上的點，ef∥bc，ae = x，g是bc的中點。沿ef將梯形abcd翻摺，使平面aefd⊥平面ebcf (如圖) .
(1) 當x=2時，求證：bd⊥eg ；
(2) 若以f、b、c、d為頂點的三稜錐的體積記為f(x)，f(x)取得最大值時，求二面角d-bf-c的余弦值.
19. (12分)如圖，四稜錐s-abcd 的底面是正方形，每條側稜的長都是地面邊長的倍，
p為側稜sd上的點。
（ⅰ）求證：ac⊥sd若sd⊥平面pac，求二面角p-ac-d的大小
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，側稜sc上是否存在一點e， 使得be∥平
面pac。若存在，求se：ec的值；若不存在，試說明理由。
20．已知函式成等差數列，點是函式影象上任意一點，點關於原點的對稱點的軌跡是函式的影象。
（1）解關於的不等式；
（2）當時，總有恆成立，求的取值範圍。
21．已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點（2，1），平行於直線在軸上的截距為，設直線交橢圓於兩個不同點、，
（1）求橢圓方程；
（2）求證：對任意的的允許值，的內心在定直線。
高二數學試題（理科） 2014-1-11
一 、選擇題 c a a b b b d b b d
二 、填空題5 8； 6
三 、解答題
解：（1）
又即（2又∵p為q的充分條件
……………………12分
解：（1）真或；
真，故真時的取值範圍為，真時的取值範圍為；
（2）「或」為真，「且」為假，等價於和一真一假，分兩況討論：
當真且假時，有；
當假且真時，有，取並，
即得「或」為真，「且」為假時實數的取值範圍是
解：() 作dh⊥ef於h，連bh，gh.
由平面平面知：dh⊥平面ebcf，
而eg平面ebcf，故eg⊥dh. 四邊形bghe為正方形，∴eg⊥bh，
bhdh＝h，故eg⊥平面dbh，而bd平面dbh，∴ eg⊥bd.… 6分
().作dh⊥ef於h，作hm⊥bf，連dm.
由三垂線定理知 bf⊥dm，∴∠dmh是二面角d-bf-c的平面角的補角.
由△hmf∽△ebf，知，而hf=1，be=2，，∴hm＝.又dh＝2∴在rt△hmd中，tan∠dmh=-因∠dmh為銳角，∴cos∠dmh＝
而∠dmh是二面角d-bf-c的平面角的補角故二面角d-bf-c的余弦值為－ …12分
解法一：（ⅰ）連bd，設ac交bd於o，由題意。在正方形abcd中，，所以,得.
(ⅱ)設正方形邊長，則。又，所以, 連，由（ⅰ）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小為。
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