（非數學類，2013）
一、 解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）
1.求極限.
解因為（2分）；
原式(2分)；
(2分)
2.證明廣義積分不是絕對收斂的
解記，只要證明發散即可。（2分）
因為。（2分）
而發散，故由比較判別法發散。（2分）
3.設函式由確定，求的極值。
解方程兩邊對求導，得（1分）
故，令，得或（2分）
將代入所給方程得，
將代入所給方程得，（2分）又，
故為極大值，為極小值。（3分）
4.過曲線上的點a作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點a的座標。
解設切點a的座標為，曲線過a點的切線方程為（2分）；令，由切線方程得切線與軸交點的橫座標為。
從而作圖可知，所求平面圖形的面積
，故a點的座標為。（4分）
二、（滿分12）計算定積分
解（4分）
（2分）
（4分）
（2分）
三、（滿分12分）設在處存在二階導數，且。證明 ：級數收斂。
解由於在處可導必連續，由得
（2分）
（2分）
由洛必塔法則及定義
（3分）
所以2分）
由於級數收斂，從而由比較判別法的極限形式收斂。（3分）
四、（滿分12分）設，證明
解因為，所以在上嚴格單調增，從而有反函式（2分）。
設是的反函式，則 （3分）
又，則，所以（3分）
2分）五、（滿分14分）設是乙個光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分i的值最小，並求該最小值。
解記圍成的立體為v，由高斯公式
（3分）
為了使得i的值最小，就要求v是使得的最大空間區域，即
取，曲面 （3分）
為求最小值，作變換，則，
從而（4分）
使用球座標計算，得
（4分）
六、（滿分14分）設，其中為常數，曲線c為橢圓，取正向。求極限
解作變換（觀察發現或用線性代數裡正交變換化二次型的方法），曲線c變為平面上的橢圓（實現了簡化積分曲線），也是取正向 （2分）
而且（被積表示式沒變，同樣簡單！），
（2分）
曲線引數化，則有，
（3分）
令，則由於，從而
。因此當時或時（2分）
而（3分故所求極限為 （2分）
七（滿分14分）判斷級數的斂散性，若收斂，求其和。
解 （1）記
因為充分大時 （3分）
所以，而收斂，故收斂（2分）
（2）記，則
= （2分）
= （2分）
= （2分）
因為，所以，從而，
故。因此。（也可由此用定義推知級數的收斂性）（3分）
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