首屆中國大學生數學競賽賽區賽試卷（非數學類，2009）一、填空題（每小題5分，共20分）
1．計算其中區域由直線與兩座標軸所圍成三角形區域.
解令，則，，
（*）令，則，，，，
2．設是連續函式，且滿足, 則
解令，則，
,解得。因此
3．曲面平行平面的切平面方程是
解因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由，知，即，又，於是曲面在處的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。
4．設函式由方程確定，其中具有二階導數，且，則解法1 方程的兩邊對求導，得
即因，故，即，因此
解法2 方程取對數，得1）
方程（1）的兩邊對求導，得2）
即3）方程（2）的兩邊對求導，得4）
將（3）代入（4），得
將左邊的第一項移到右邊，得
因此二、（5分）求極限，其中是給定的正整數.
解法1 因故因此
解法2 因
故三、（15分）設函式連續，，且，為常數，求並討論在處的連續性.
解由和函式連續知，
因，故，
因此，當時，，故
當時，，
這表明在處連續.
四、（15分）已知平面區域，為的正向邊界，試證：
（1）；
（2）.
證因被積函式的偏導數連續在上連續，故由格林公式知（1）而關於和是對稱的，即知
因此（2）因故由
知即五、（10分）已知，，是某二階常係數線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.
解設，，是二階常係數線性非齊次微分方程
的三個解，則和都是二階常係數線性齊次微分方程的解，因此的特徵多項式是，而的特徵多項式是因此二階常係數線性齊次微分方程為，由和
， 知，
二階常係數線性非齊次微分方程為
六、（10分）設拋物線過原點.當時, ,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積最小.
解因拋物線過原點，故，於是
即而此圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為即令，得即因此
, ,.
七、（15分）已知滿足, 且, 求函式項級數之和.解 ，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此
由知，，
於是下面求級數的和：令則
即由一階線性非齊次微分方程公式知
令，得，因此級數的和
八、（10分）求時, 與等價的無窮大量.
解令，則因當，時，，故
在上嚴格單調減。因此即又
，，所以，當時, 與等價的無窮大量是。
非數學類中國大學生數學競賽試題與答案
首屆中國大學生數學競賽賽區賽試卷 非數學類，2009 一 填空題 每小題5分，共20分 1 計算其中區域由直線與兩座標軸所圍成三角形區域.解令，則，令，則，2 設是連續函式，且滿足,則 解令，則，解得。因此。3 曲面平行平面的切平面方程是 解因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由...
第五屆全國大學生數學競賽非數學類預賽試卷
非數學類，2013 一 解答下列各題 每小題6分共24分，要求寫出重要步驟 1.求極限.解因為 2分 原式 2分 2分 2.證明廣義積分不是絕對收斂的 解記，只要證明發散即可。2分 因為。2分 而發散，故由比較判別法發散。2分 3.設函式由確定，求的極值。解方程兩邊對求導，得 1分 故，令，得或 2...
全國大學生數學競賽模擬賽非數
備註 1.題目盡量採取原創，難度與全國大學生數學競賽預賽難度持平或略高 2.比賽完立即公布答案，評卷完畢後公布分數，排出排名，給予獎勵 3.本次比賽旨在考前對大家進行模擬，請勿用計算器，程式設計軟體，以及等作弊手段，當然，希望大家自覺遵守 4.比賽不超出競賽所要求的大綱，對於初等數學內容，和數學分析...