一、計算題
（1） 求極限
解法1 直接化為黎曼和的形式有困難.
注意到,
,由於 ，所以.
解法2 利用，得，,
由於，，
所以.（2）計算，
其中為下半球的上側，.
解法一. 先以代入被積函式，
，補一塊有向平面，其法向量與軸正向相反，
利用高斯公式，從而得到
，其中為圍成的空間區域，為上的平面區域，
於是.解法二. 直接分塊積分
，其中為平面上的半圓，.
利用極座標，得
， ，
其中為平面上的圓域，，
用極座標，得
，因此.（3）現要設計乙個容積為的圓柱體的容積，已知上下兩低的材料費為單位面積元，而側面的材料費為單位面積元.試給出最節省的設計方案：
即高與上下底面的直徑之比為何值時，所需費用最少？
解：設圓柱體的高為，底面直徑為，費用為，
根據題意，可知， ，
當且僅當時，等號成立，
，故當時，所需要的費用最少.
（4）已知在內滿足求.
解： 所以，.
二、 求下列極限.
（1）；
（2），其中，，.
解：（1）
（2） ，故.
一般地，有，其中，，
.3．設在點附近有定義，且在點可導，，，
求.解：
.四、 設在上連續，無窮積分收斂，求.
解：設，由條件知，，
，利用分部積分，得，，
，於是5．設函式在上連續，在內可微，且，.
證明：（1）存在，使得；
（2）對於每一，存在，使得.
證明：（1）令，
由題設條件，可知，
；利用連續函式的介值定理，得
存在，使得，即.
（2）令，
由題設條件和（1）中的結果，可知，
，；利用羅爾中值定理，得
存在，使得，
由，即得.
六、 試證：對每乙個整數，成立
.分析：這是乙個估計泰勒展開餘項的問題，其技巧在於利用泰勒展開的積分餘項.
證明：顯然時，不等式成立；
下設.由於，
這樣問題等價於證明，即
，令上式化為
，從而等價於，
只要證明，
設，則只要證明
，，就有，
，則問題得證.
以下證明，，成立
上式等價於，
即，令，
則，並且對，有
，從而當時，，
這樣問題得證.
注：利用這一結論，我們可以證明如下結論.
六、設為整數，，證明方程，在上至少有乙個根.
六、 證明：存在，使得.
證明：令，
則有， ，
由連續函式的介值定理，得
存在，使得，
故問題得證.
這裡是由於，，
在上嚴格單調遞減，
所以，當時，有.
七、 是否存在上的可微函式，使得，若存在，請給出乙個例子；若不存在，請給出證明。
證明如果這樣的函式存在，
我們來求的不動點，即滿足的，，，
由此得，這表明有唯一的不動點，易知也僅有唯一的不動點，，在等式，兩邊對求導，得
，讓，即得，這是不可能的，故這樣的函式不存在。
八、設函式在上一致連續，且對任何，有，
證明：。
試舉例說明，僅有在上的連續性推不出上述結論。
證明由在上一致連續，對，，
當且時，
便有；取定充分大的正整數，使得。現把區間等分，設其分點為，每個小區間的長度小於。
對於任意，；
從而必有，使得；
由條件對每個，有；
於是存在，當時，，對都成立；
故當時，便有
，即得，結論得證。
設在上的連續，且對任何，有，
但推不出上述結論。
例如函式
滿足在上的連續，且對任何，有，
但不成立。
全國大學生數學競賽模擬賽非數
備註 1.題目盡量採取原創，難度與全國大學生數學競賽預賽難度持平或略高 2.比賽完立即公布答案，評卷完畢後公布分數，排出排名，給予獎勵 3.本次比賽旨在考前對大家進行模擬，請勿用計算器，程式設計軟體，以及等作弊手段，當然，希望大家自覺遵守 4.比賽不超出競賽所要求的大綱，對於初等數學內容，和數學分析...
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