2023年第一屆全國大學生數學競賽預賽試卷一、填空題（每小題5分，共20分）
1．計算其中區域由直線與兩座標軸所圍成三角形區域.
解:令，則，，
（*）令，則
，，，2．設是連續函式，且滿足, 則
解:令，則，
,解得。因此。
3．曲面平行平面的切平面方程是
解:因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由，知，即，又，於是曲面在處的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。
4．設函式由方程確定，其中具有二階導數，且，則解:方程的兩邊對求導，得
因，故，即，因此
二、（5分）求極限，其中是給定的正整數.
解:因故
因此三、（15分）設函式連續，，且，為常數，求並討論在處的連續性.
解:由和函式連續知，
因，故，
因此，當時，，故
當時，，
這表明在處連續.
四、（15分）已知平面區域，為的正向邊界，試證：
（1）；
（2）.
證:因被積函式的偏導數連續在上連續，故由格林公式知（1）而關於和是對稱的，即知
因此（2）因故由
知即五、（10分）已知，，是某二階常係數線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.
解設，，是二階常係數線性非齊次微分方程
的三個解，則和都是二階常係數線性齊次微分方程的解，因此的特徵多項式是，而的特徵多項式是因此二階常係數線性齊次微分方程為，由和
， 知，
二階常係數線性非齊次微分方程為
六、（10分）設拋物線過原點.當時, ,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積最小.
解因拋物線過原點，故，於是
即而此圖形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積即令，得即因此
, ,.
七、（15分）已知滿足, 且, 求函式項級數之和.解，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此
由知，，
於是下面求級數的和：令則
即由一階線性非齊次微分方程公式知
令，得，因此級數的和
八、（10分）求時, 與等價的無窮大量.
解令，則因當，時，，故
在上嚴格單調減。因此即，
又，，所以，當時, 與等價的無窮大量是。
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