三、綜合運用，再接再厲！（本大題共25分）
1．（本題12分）某中學現有學生人，計畫一年後初中在校生增加，高中在校生增加，這樣會使該中學在校生增加，這所中學現在的初、高中在校生分別是多少人？
2．（本題13分）《一千零一夜》中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食，樹上的乙隻鴿子對地上覓食的鴿子說：「若從你們中飛上來乙隻，則樹下的鴿子就是整個鴿群的；若從樹上飛下去乙隻，則樹上、樹下的鴿子就一樣多．」你知道樹上、樹下各有多少只鴿子嗎？
四、拓廣探索，超越自我！（本大題共30分）
1．（本題14分）小明和小亮兩個人做加法，小明將其中乙個加數後面多寫了乙個，得和為，小亮將同乙個加數後面少寫了乙個，所得和為．求原來的兩個加數．
2．（本題16分）某工程由甲乙兩隊合做天完成，廠家需付甲乙兩隊共元；乙丙兩隊合做天完成，廠家需付乙丙兩隊共元；甲丙兩隊合做天完成全部工程的，廠家需付甲丙兩隊共元．
（1）求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？
（2）若要求不超過天完成全啊工程，問可由哪隊單獨完成此項工程花錢最少？
常見分割的幾種型別
說明：本文適合八年級四邊形知識延伸
分割問題通常是先給出乙個圖形（這個圖形可能是規則的，也有可能不規則），然後讓你用直線、線段等把該圖形分割成面積相同、形狀相同的幾部分。解決這類問題的時候可以借助對稱的性質、面積公式等進行分割。
一． 運用對稱的性質分割
例1：今有一塊土地，要在其上修築兩條筆直的道路，使道路將這塊土地分成形狀相同且面積相等的四部分，若道路的寬度可以忽略不計，請你設計三種不同的築路方案。若修築三條道路你能再設計出三種方案嗎？
分析：若用兩條直線，由於正方形既是乙個軸對稱圖形又是中心對稱圖形，若從軸對稱的角度考慮：我們可以鏈結兩條對角線，或者鏈結對邊中點；若從中心對稱的角度考慮：
我們還可以過對稱中心（對角線的交點）作兩條互相垂直的直線。
若用三條直線分割，答案就豐富多彩了，但無論怎麼變，由於分割形成的形狀相同，面積相同，因此一般都是從對稱的角度來考慮（比如圖（3）、圖（4）、圖（5））。
二． 運用面積公式分割
例2：(2023年河南課改卷)某班研究性學習小組再研究用一條直線等分幾何圖形的面積是，發現如下事實：
（一）如圖（1），對於三角形abc，取bc邊中點d，過a、d兩點畫一條直線即可。理由：∵△abd與△adc等底等高，∴s△abd＝s△adc。
（二）如圖（2），對於平行四邊形abcd，連線兩對角線ac、bd交於點o過o點任作一直線mn即可。（不妨設與ad、bc分別交於點m、n）。
理由：∵四邊形abcd是平行四邊形，∴ao＝co，ad∥bc，∴∠mao＝∠nco。
問題：請你研究一下，對於梯形abcd，怎樣畫出等分其面積的直線，找出三種不同的分法，寫出你的畫法並說明理由。（相同的理由的分法只能算一種）
分析：思路一：第乙個圖，由於所給的梯形是乙個一般梯形，由等分三角形和平行四邊形的面積方法得出啟示用梯形的面積公式來分割，取上下底的中點，這樣所截得的兩個小梯形的面積的上下底均為原來梯形上下底的一半，從而將梯形面積一分為二。
思路二：第三個圖，梯形還有乙個面積公式是在；中位線×高，我們只需找出中位線的中點，將中位線一分為二，過中位線的中點作一條直線截上下底就行了。
思路三：第二個圖，將梯形轉化成等積的平行四邊形，然後運用平行四邊形分割法分割。方法是過ab的中點作cd的平行線。
思路四：第四個圖，將梯形轉化成等積的三角形，然後運用三角形分割法分割。方法是先取cd的中點o，鏈結ao並延長交bc的延長線於點f，經過a與bf的中點的直線就是所求的直線。
三、借助計算分割
例3：龍棲山自然風景區有一塊長12公尺，寬8公尺的矩形花圃，噴水嘴安裝在舉行對角線的交點p上（如圖1），現計畫從點p引三條射線把花圃分成面積相等的三個部分，分別種不同的花（不考慮各部分之間的空隙）。請你通過計算，形成多個設計方案，並根據你的方案設計圖答出三條與矩形有關邊交點位置。
分析：這道題所涉及的知識並不難，但是它不同於常規題，它為我們展示了乙個很廣闊
的思維空間，符合條件要求的答案是豐富多彩的。
思路一：連線矩形兩條對角線，交點就是p，有「等底等高的兩個三角形面積相等」可知，△abp、△bcp、△cdp、△dap這四個三角形面積相等；再將每條矩形的邊三等分，各分點與點p鏈結，構成12個小三角形，可知這些小三角形的面積都相等，每相鄰的四個小三角形面積之和均為矩形面積的，這樣可獲知如圖的四種方案。
計算略。
思路二：如下圖，∵s矩形abcd＝12×8＝96，∴s矩形abcd＝32。
鏈結pa，作pg⊥dc於g，則s梯形apgd＝(12+6)×4＝36>32。
可在ad取點e，在bc上取點f，設ed＝fc＝x公尺，要使s梯形epgd＝s梯形fpgc＝32平方公尺，必須滿足
(x+6)×4＝32 ，解得x＝10，即ed＝fc＝10公尺。得如圖（a）。同理可作後三個圖形。
解略.例4：如圖（1），o是矩形abcd的對角線的交點，過點o作一直線分別交bc、ad與點m、n。
（1）求證：s四邊形abmn＝s四邊形cdmn
（2）現有如圖（2）所示的方角鐵皮，工人師傅想用一條直線將其分割成面積相等的兩部分，請你幫助工人師傅設計三種不同的分割方案。
（在圖（2）、圖（3）、圖（4）中分別畫出一條直線，不寫作法，保留作圖痕跡）
分析：思路1：由軸對稱的性質不難作出第乙個圖，即鏈結be。
思路2：通過計算可以得知整個圖形的面積為12，我們只需截出乙個面積為6的圖形就可以把圖形面積一分為二。如果截出的是矩形，如圖（3），只需am＝1.
5中作中垂線的方法找到m這個四等分點，過點m作mn⊥bc與n，則mn就是所求的分割線。如果截出的是三角形，如圖（4），則只需bm＝3即可，作法同上。
8 3 1二元一次方程組的應用
大同鐵一中初一年級數學學科學案 學習目標 1經歷用方程組解決實際問題的過程，體會方程組是刻畫現實世界中含有多個未知數的問題的有效數學模型 2能夠找出實際問題中的已知數和未知數，分析它們之間的數量關係，列出方程組 教學重點 能根據題意列二元一次方程組 根據題意找出等量關係 運用二元一次方程解決有關配套...
8 3 5二元一次方程組的應用
大同鐵一中初一年級數學學科學案 學習目標 1經歷用方程組解決實際問題的過程，體會方程組是刻畫現實世界中含有多個未知數的問題的有效數學模型 2學會比較估算與精確計算以及檢驗方程組的解是否符合題意並正確作答 3培養分析 解決問題的能力，體會二元一次方程組的應用價值，感受數學文化。教學重點 確定解題策略，...
二元一次方程組
1 方程組的解是 a b c d 2 設方程組的解是那麼的值分別為 a b cd 3 在等式中，當時，a 23b 13c 5d 13 4 關於關於的方程組的解也是二元一次方程的解，則的值是 a 0b 1c 2d 5 方程組，消去後得到的方程是 ab cd 6 二元一次方程4x 3y 12，當x 0，...