第十二章無窮級數與逼近
一、無窮級數的概念及性質
1. 概念：設 是乙個數列，稱表示式a 1 a 2 a 3 a n 為（常數項）無窮級數，簡稱數項級數或級數．級數記為或．稱a n為級數的通項或一般項．考察級數的前面n項的和s n a 1 a 2 a 3 a n a i , 稱s n為級數的前n項部分和，稱數列 為級數的部分和數列．部分和數列｛s n｝收斂，則稱級數收斂，此時稱極限s n s為級數的和，記為 s．若｛s n｝發散，則稱級數發散．
例1 討論級數的斂散性．
(12)；
例2等比級數（幾何級數）a q n (a 0) 的斂散性：
當 | q | < 1 時，級數收斂，且和s a q n ；當 | q | 1時，級數發散．
例：判斷下列級數斂散性 （1） ；（2）；（3）
2. 收斂級數的簡單性質：
定理1級數收斂的必要條件：如果級數a n收斂，則a n 0．
例3設級數收斂，其中，則級數發散 ．
例4討論級數（1）；（2）；（3）的斂散性．
定理2 設級數a n， b n分別收斂於s和t，k是一常數，則
(1) 級數k a n也收斂，且其和為k s； 例5 () n
(2) 級數( a n b n) 也收斂，且其和為 s t．
例2. 判別下列級數的收斂性：
(12)；
定理3 在級數中新增、刪除或修改有限項，不改變級數的斂散性．
二、級數的收斂判別法
1. 正項級數a n收斂的充分必要條件是它的部分和數列有界．
2. 對p級數，有(1) 當p > 1時，級數收斂；(2) 當p 1時，級數發散．
例3（1）； （2）； （3）； (4）
3.（比較判別法）設a n， b n是兩個正項級數，a n b n (存在n > 0，使n n時)，(1) 若級數b n收斂，級數a n也收斂；
(2) 若級數a n發散，則級數b n發散．
例2 判別下列級數的收斂性：
(1) ； (2)； (3) ； (4)．
4.（比較判別法的極限形式）設a n， b n是兩個正項級數，
(1) 若 c 存在，且c 0，則兩個級數具有相同的斂散性；
(2) 若 ，則由級數b n發散可推出級數a n發散．
(3) 若 0，則由級數b n收斂可推出級數a n收斂；
例3 判別下列級數的收斂性：
(1) ； (2)
例4(1) 設a n是收斂的正項級數，證明級數收斂．
(2) 設a n > 0，且n a n = l 0，證明級數a n發散．
5. （比值判別法）已知級數a n，
(1) 若 l < 1，則級數絕對收斂，從而收斂；
(2) 若 l > 1或 ，則級數發散；
(3) 若 1，則級數可能收斂也可能發散，需用其它方法判別其收斂性．
例5 判定下列級數的收斂性
(1); (2) (3)
6. （根值判別法）已知級數a n，
(1) 若 l < 1，則級數絕對收斂，從而收斂；
(2) 若 l > 1或 ，則級數發散；
(3) 若 1，則級數可能收斂也可能發散，需用其它方法判別其收斂性．
例6 判定級數的收斂性．
7.（萊布尼茨定理）設交錯級數(1) n 1 a n (a n > 0 )，如果a n滿足條件：
(1) 是單調減少數列，即a n 1 a n (n 1, 2, …)；
(2) a n 0．
則該交錯級數收斂．
例7 判定交錯級數的收斂性．
例 （1）；（2）
如果| a n | 收斂，則稱級數a n絕對收斂；如果級數a n收斂，而級數| a n | 發散，則稱級數a n條件收斂．
例8 判定級數的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂．
例；三、冪級數
1. 阿貝爾定理
(1) 如果an x n在x x 0 ( 0) 收斂，則對所有滿足 | x | < | x 0 | 的x， an x n絕對收斂；
(2) 如果an x n在x x 0 發散，則對所有滿足 | x | > | x 0 | 的x， an x n發散．
2. 對冪級數a nx n，有下面的三種可能性：
(1) 級數在所有的實數x收斂，收斂域為 ( , )；
(2) 級數僅在x 0收斂，收斂域為 ；
(3) 存在一實數r > 0，使級數在x (r, r ) 收斂，在 | x | > r 發散，在x r級數可能收斂也可能發散，因此收斂域可能有四種情形：(r, r )，[r, r )，(r, r ] 或 [r, r ]，
情形 (3) 中的r稱為級數的收斂半徑，(r, r ) 稱為級數的收斂區間，對於 (1)，(2) 的情形，我們說級數的收斂半徑分別是和0．
例 9求冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域．（收斂域為 [ 2，2 ]）
例10求冪級數求冪級數的收斂半徑及收斂域．
定理: 設冪級數a nx n的收斂半徑r，(r > 0)．則
(1) a nx n的和函式s (x) 在級數的收斂域內是連續函式，即對收斂域內任一x 0，有s (x) s (x 0)， a nx n a n (a n x n )，
(2) a nx n的和函式s (x) 在收斂區間 ( r，r ) 內可導，
s' (x) (a nx n )' (a nx n )' n a nx n 1 x ( r，r )，
(3) a nx n的和函式s (x) 在收斂區間 ( r，r ) 內可積，
x ( r，r )，
例11 求級數在收斂區間內的和函式．
例12 求冪級數的收斂域，並求其和函式.
四、泰勒級數
函式f(x)在x=a處的泰勒級數
特別當a=0時，稱它為f(x)的麥克勞林級數。
.例13 將函式展開為的冪級數.
例14將函式f (x) ln (1 x)表示成 (x 2) 的冪級數, 並求其收斂域．
例15將表示為的冪級數.
五、傅利葉級數
1. 函式的傅利葉級數：，
， ，
2. 收斂定理：設函式f(x)以為週期，如果它在乙個週期上連續或只有有限個第一類間斷點，並且至多只有有限個極值點，那末f(x)的傅利葉級數收斂，並且它的收斂和為s(x)，則有當x是f(x)的連續點時，s(x)=f(x);當x是f(x)的間斷點時，.
收斂定理中f(x)所滿足的條件稱為狄利克雷條件，簡稱狄氏條件。
例16 將函式在區間上展開成余弦級數.
例17 將函式在上展開成傅利葉級數，並求級數之和.
第十二章總複習
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