南京市2009-2010學年度第一學期期末調研試卷高三數學
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）
1．集合，，若，則實數的值為 ▲ ．
2．已知角的終邊經過點，且，則的值為 ▲ ．
3．經過點，且與直線垂直的直線方程是 ▲ ．
4．若複數（為虛數單位），且為純虛數，則實數的值為 ▲ ．
5．已知實數滿足約束條件則的最大值為 ▲ ．
6．某學校有兩個食堂，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的
乙個食堂用餐，則他們在同乙個食堂用餐的概率為 ▲ ．
7．設等差數列的公差，，若是與
的等比中項，則的值為 ▲ ．
8．根據如圖所示的演算法流程，可知輸出的結果為 ▲ ．
9．下圖是一次考試結果的頻率分布直方圖，若規定60分以上
（含60）為考試合格，則這次考試的合格率為 ▲ ．
10．設是單位向量，且，則的值為 ▲ ．
11．如圖，已知正三稜柱的底面邊長為2，高位5，
一質點自點出發，沿著三稜柱的側面繞行兩周到達點的最短路線的長為 ▲ ．
12．若不等式對恆成立， 則實數的取值範圍是 ▲ ．
13．五位同學圍成一圈依次迴圈報數，規定，第一位同學首次報出的數為2，第二位同學首次報出的數為3，之後每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出數的乘積的個位數字，則第2010個被報出的數為 ▲ ．
14．設是由滿足下列性質的函式構成的集合：
在定義域內存在，使得成立．已知下列函式：
①；②；③；④，其中屬於集
合的函式是 ▲ （寫出所有滿足要求的函式的序號）．
二、解答題（本大題共6小題，共90分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分14分，第1小題5分，第2小題9分）
已知，，．
⑴若∥，求的值；
⑵若，求的值．
16．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
如圖，在四稜錐中，四邊形為平行四邊形，，，
為上一點，且平面．
⑴求證：；
⑵如果點為線段的中點，求證：∥平面．
17．（本題滿分14分） 如圖，矩形是機械人踢足球的場地，，，機械人先從的中點進入場地到點處，，．場地內有一小球從點向點運動，機械人從點出發去截小球，現機械人和小球同時出發，它們均作勻速直線運動，並且小球運動的速度是機械人行走速度的2倍．若忽略機械人原地旋轉所需的時間，則機械人最快可在何處截住小球？
18．（本題滿分16分，第1小題6分，第2小題10分）
已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓的焦距為2． ⑴求橢圓的方程；
⑵設為橢圓上任意一點，以為圓心，為半徑作圓，當圓與橢圓的右準線有公共點時，求△面積的最大值．
19．（本題滿分16分，第1小題 4分，第2小題4分，第3小題8分）
已知函式在點處的切線方程為．
⑴求函式的解析式；
⑵若對於區間上任意兩個自變數的值都有，求實數的最小值；
⑶若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值範圍．
20．（本題滿分16分，第1小題 4分，第2小題6分，第3小題6分）
設函式，數列滿足．
⑴求數列的通項公式；
⑵設，若對恆成立，求實數的取值範圍；
⑶是否存在以為首項，公比為的數列，，使得數列中每一項都是數列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數列的通項公式；若不存在，說明理由．
南京市2009-2010學年度第一學期期末調研試卷
1． 2．10 3． 4． 5．8 6． 7．3
8．7 9．72％ 10． 11．13 12． 13．4 14．②④
二、解答題（本大題共6小題，共90分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分14分，第1小題5分，第2小題9分）
解：⑴因為∥，所以．……3分則．………………5分
⑵因為，所以，……7分即．……9分
因為，所以，則11分
……14分
16．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
證明：⑴因為平面，平面，所以．……………2分
因為，且，平面，
所以平面．…………………4分因為平面，所以．……………6分
⑵取中點，鏈結．因為平面，平面，所以．
因為，所以為的中點8分
所以為△的中位線．所以∥，且=．……………10分
因為四邊形為平行四邊形，所以∥，且．故∥，且．
因為為中點，所以∥，且．
所以四邊形為平行四邊形，所以12分
因為平面，平面，所以∥平面．………………14分
17．（本題滿分14分）解：設該機械人最快可在點處截住小球 ，點**段上．
設．根據題意，得．
則1分連線，在△中，，，
所以2分
於是．在△中，由餘弦定理，
得．所以．……8分
解得．……12分所以，或（不合題意，捨去）．………13分答：該機械人最快可**段上離點70處截住小球．……………………14分
18．（本題滿分16分，第1小題6分，第2小題10分）
解：⑴因為，且，所以．……2分所以4分
所以橢圓的方程為．………6分⑵設點的座標為，則．
因為，，所以直線的方程為8分
由於圓與有公共點，所以到的距離小於或等於圓的半徑．
因為，所以，………………10分
即．又因為，所以．…12分解得．………14分
當時，，所以．…………16分
19．（本題滿分16分，第1小題 4分，第2小題4分，第3小題8分）
解2分根據題意，得即解得……………………3分
所以4分
⑵令，即．得．
因為，，
所以當時6分
則對於區間上任意兩個自變數的值，都有
，所以．
所以的最小值為48分
⑶因為點不在曲線上，所以可設切點為．
則．因為，所以切線的斜率為9分
則11分
即．因為過點可作曲線的三條切線，
所以方程有三個不同的實數解．
所以函式有三個不同的零點．
則．令，則或．
則，即，解得16分
20．（本題滿分16分，第1小題 4分，第2小題6分，第3小題6分）
解：⑴因為，
所以2分
因為，所以數列是以1為首項，公差為的等差數列．
所以4分
⑵①當時，
6分②當時，
8分所以
要使對恆成立，
只要使．
只要使，
故實數的取值範圍為10分
⑶由，知數列中每一項都不可能是偶數．
①如存在以為首項，公比為2或4的數列，，
此時中每一項除第一項外都是偶數，故不存在以為首項，公比為偶數的數列12分
②當時，顯然不存在這樣的數列．
當時，若存在以為首項，公比為3的數列，．
則，，，．
所以滿足條件的數列的通項公式為16分
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