南京市2011－2012學年度第一學期高一期末調研
數學卷2012.01
一、填空題：本大題共14小題，每小題3分，共42分．請把答案填寫在答卷紙相應位置上
1．已知集合a＝，b＝，則a∩b
2．計算：sin210°的值為_______．
3．函式f(x)＝log2(x＋1)的定義域為_______．
4．計算：2lg＋lg5的值為_______．
5．已知a＝30.2，b＝0.32，c＝log0.32，則a，b，c的大小關係為_______．(用「＜」鏈結)
6．已知函式f(x)＝則f(f(0))的值為_______．
7．對於任意的a∈(1，＋∞)，函式y＝loga(x－2)＋1的圖象恆過點_______．(寫出點的座標)
8．已知函式f(x)＝asin(ωx＋)(其中a＞0，ω＞0，－π＜≤π)的
部分圖象如圖所示，與x軸的兩個交點的橫座標分別為，，
則函式f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離是_______．
9．在△abc中，已知d是bc上的點，且cd＝2bd．設＝a，
＝b，則用a，b表示)
10．函式y＝sin(x＋)在區間[0，]的最小值為_______．
11．若函式y＝|log2x|在區間(0，a]上單調遞減，則實數a的取值範圍是_______．
12．將函式y＝sinx的圖象上各點的縱座標保持不變，橫座標變為原來的，得到函式y＝f(x)的圖象，再將函式y＝f(x)的圖象沿著x軸的正方向平移個單位長度，得到函式y＝g(x)的圖象，則g(x)的解析式為_______．
13．給出下列四個函式：①y＝x＋sinx；②y＝x2－cosx；③；④y＝ex＋lnx，其中既是奇函式，又在區間(0，1)上單調的函式是_______．(寫出所有滿足條件的函式的序號)
14．設定義在r上的函式f(x)滿足：對任意的x，y∈r，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，對任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞0，且f(1)＝2．若對任意的x∈[－3，3]都有f(x)≤a，則實數a的取值範圍為_______．
二、解答題：本大題共6小題，共58分．請在答卷紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(本小題滿分8分)
設向量a＝(6，2)，b＝(－3，k)．
(1)當a⊥b時，求實數k的值；(2)當a∥b時，求實數k的值．
16．(本小題滿分10分)
已知tanα＝3．
(1)求的值；(2)若π＜α＜，求cosα－sinα的值．
17．(本小題滿分10分)
已知向量e1，e2的夾角為120o，且|e1|＝2，|e2|＝3．若a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，
(1)求a＋2b；(用e1，e2表示)； (2)求|a|的值．
18．(本小題滿分10分)
已知函式f(x)是實數集r上的奇函式，當x＞0時，f(x)＝log2x＋x－3．
(1)求f(－1)的值； (2)求函式f(x)的表示式；
(3)求證：方程f(x)＝0在區間(0，＋∞)上有唯一解．
19．(本小題滿分10分)
下表給出的是某港口在某季節每天幾個時刻的水深．
(1)若該港口的水深y(m)和時刻t(0≤t≤24)的關係可用函式y＝asin(ωt)＋b(其中a＞0，ω＞0，b∈r)來近似描述，求a，ω，b的值；
(2)若一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4m，安全條例規定至少要有2.5m的安全間隙(船底與海底的距離)，試用(1)中的函式關係判斷該船何時能進入港口？
20．(本小題滿分10分)
設函式f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈r．
(1)若t＝1，求函式f(x)在區間[0，4]上的取值範圍；
(2)若t＝1，且對任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，求實數a的取值範圍．
(3)若對任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求t的取值範圍．
一、填空題：本大題共14小題，每小題3分，共42分．
1．{0，223．(－14．15．c＜b＜a
6．67．(3，1) 89． a＋b 10．
11．(0，112．g(x)＝sin(2x－) 1314．[6，＋∞)．
二、解答題：本大題共6小題，共58分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．解因為a＝(6，2)，b＝(－3，k)，所以
(1)當a⊥b時，a·b＝0，即6×(－3)＋2k＝0，解得k＝94分
(2)當a∥b時，6k＝2×(－3)，解得k＝－18分
16．解因為tanα＝3，所以＝3，即sinα＝3cosα，且cosα≠0． ……………2分
(1)＝＝26分
(2)因為sin2α＋cos2α＝1，所以9cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝．
又π＜α＜，所以cosα＜0，從而cosα＝－，
所以 cosα－sinα＝cosα－3cosα＝－2cos10分
17．解 (1)因為a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，所以
a＋2b＝2e1＋e2＋2(e1－2e2)＝4e1－3e24分
(2)因為向量e1，e2的夾角為120o，且|e1|＝2，|e2|＝3，所以
a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝4×22＋4×2×3cos120o＋32＝13， ……8分
所以 |a10分
18．解 (1)因為函式f(x)是實數集r上的奇函式，所以對任意的x∈r，都有f(－x)＝－f(x)．
所以f(－1)＝－f(1)．
因為當x＞0時，f(x)＝log2x＋x－3，所以f(1)＝log21＋1－3＝－2．
所以f(－1)＝－f(1)＝23分
(2)當x＝0時，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0；
當x＜0時，－x＞0，所以f(－x)＝log2(－x)＋(－x)－3＝log2(－x)－x－3．
所以－f(x)＝log2(－x)－x－3，從而f(x)＝－log2(－x)＋x＋3．
所以f(x6分
(3)因為f(2)＝log22＋2－3＝0，所以方程f(x)＝0在區間(0，＋∞)上有解x＝2．
又方程f(x)＝0可化為log2x＝3－x．
設函式g(x)＝log2x，h(x)＝3－x．
由於g(x)在區間(0，＋∞)上是單調增函式，h(x)在區間(0，＋∞)上是單調減函式，
所以，方程g(x)＝h(x) 在區間(0，＋∞)上只有乙個解．
所以，方程f(x)＝0在區間(0，＋∞)上有唯一解10分
說明：指出有解2分，指出單調性2分．
19．解 (1)由題知，a＝3，b＝5，t＝12，所以4分
(2)由(1)得y＝3sin(t)＋5（0≤x≤24）．
貨船需要的安全水深為4＋2.5＝6.5(m)，所以當y≥6.5時，貨船就可以進港．
方法一由3sin(t)＋5≥6.5，得sin(t)≥．
因為0≤t≤4π，所以≤t≤，或≤t≤，
解得1≤t≤5，或13≤t≤17．
答該貨船可以在1∶00～5∶00和13∶00～17∶00進入港口． ………10分
方法二由3sin(t)＋5＝6.5，得sin(t)＝．
如圖，在區間[0，12]內，函式的圖象與直線y＝6.5有兩個交點a，b，
因此ta＝或π－tb＝，解得ta＝1，tb＝5．
在區間[12，24]內，設函式的圖象與直線y＝6.5有兩個交點c，d．
由函式的週期性，易得tc＝12＋1＝13，td＝12＋5＝17．
答該貨船可以在1∶00～5∶00和13∶00～17∶00進入港口． ………10分
說明：缺答扣1分．
20．解因為f(x)＝x2－2tx＋2＝(x－t)2＋2－t2，所以f(x)在區間(－∞，t]上單調減，在區間[t，∞)上單調增，且對任意的x∈r，都有f(t＋x)＝f(t－x)，
(1)若t＝1，則f(x)＝(x－1)2＋1．
①當x∈[0，1]時．f(x)單調減，從而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值範圍為[1，2]；
②當x∈[1，4]時．f(x)單調增，從而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值範圍為[1，10]；
所以f(x)在區間[0，4]上的取值範圍為[1，103分
(2)「對任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5」等價於「在區間[a，a＋2]上，[f(x)]max≤5」．
若t＝1，則f(x)＝(x－1)2＋1，
所以f(x)在區間(－∞，1]上單調減，在區間[1，∞)上單調增．
當1≤a＋1，即a≥0時，
由[f(x)]max＝f(a＋2)＝(a＋1)2＋1≤5，得
－3≤a≤1，
從而0≤a≤1．
當1＞a＋1，即a＜0時，由[f(x)]max＝f(a)＝(a－1)2＋1≤5，得
－1≤a≤3，
從而1≤a＜0．
綜上，a的取值範圍為區間[－1，16分
(3)設函式f(x)在區間[0，4]上的最大值為m，最小值為m，
所以「對任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8」等價於「m－m≤8」．
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