解析幾何學習困難生個案研究與指導策略＊
盧鎮豪摘要：建構主義教學觀認為，在教學過程中，教師的責任是對學生的學習進行引導和幫助。幫助學生在主體自身的經驗範圍內重新組織內部的認知結構，以「適應」現實，建構起自已對內容和意義的理解。
解析幾何學習困難生的學習非常需要教師的指導和幫助。如何指導解析幾何學習困難生的學習呢？本課題對高二級一位解析幾何學習困難生解答解析幾何題目進行追蹤研究，發現他的解題過程的特點，知識的缺陷，題目解答不了的原因。
然後根據他的學習特點和錯誤原因，有針對性地給予解題指導，使他建構起自已對題意的理解和題目的解答。通過例項指導、個案分析和個案研究，歸納總結出指導解析幾何學習困難生解答題目的一些策略。
一、個案及其分析
張z是一位高二級男生，其父母對張z的學習活動比較重視，張z本人學習態度較好，基本能按要求完成學習任務，但學習效果欠佳，特別是在解析幾何的學習方面存在困難。究竟什麼原因造成他學習有困難呢？他在學習過程中有哪些具體的特點呢？
如何去指導他的學習呢？究竟有哪些指導策略呢？本課題對他的學習進行追蹤研究。
結合建構主義教學理論和學習理論，我通過指導他解答解析幾何題目，對他的解題建構過程的特點、錯誤的原因進行分析，並進行解析幾何學習困難生解題指導策略研究。研究過程採用了例項觀察法，例項問答法，例項指導法，取得了較好效果。
個案一（2月18日）。
例題：已知兩點m（2，2）和n（5，-2），點p在x軸上，且∠mpn=90，求點p的座標。
張z能夠自主地畫出圖形如下，假設點p的座標，但寫成p(x，y)。
指導：點p在座標系的哪個位置？
張答：在x軸上。通過觀察圖形發現y=0。
並把p的座標改為p(x,0)。
並計算mn=。
困難：不知道下一步做什麼。
指導：設p點的座標目的是什麼？還有什麼已知條件未用？
張答：要求x的值。還已知∠mpn=90°，但不知道怎麼用。如何求x的值呢？
指導：請觀察圖形是什麼形狀？
張答：△mpn是直角三角形。
困難：遲遲未能列出關於x的方程。
指導：直角三角有什麼可用的性質？
張答：mn=2np。
指導：不對，再想。
他找到了mn的中點q，並鏈結qp，還隨口說出△pnq的面積等於△pmq的面積，又覺得用不上。後來問qp是不是等於，得到肯定後，他繼續寫出解題過程：
設nm的中點為q， nm的中點為也即（3.5，0），q到p的距離等於=2.5， qp=，2.5=，2.5=3.5-x，x=1， p(1,0)。
分析：從張z解答本題的數學活動過程來看，他一直處於主體的地位，靠他現有的知識和教師的引導，經過自身的觀察、聯想和轉化，逐步內化為自己的想法。這體現了學生為主體的思想和數學認知發展的觀念。
從他的表現來看，他有數形結合的思想，懂得設元，懂得兩點間的距離公式和中點座標公式，懂得直角三角形的個別性質（但不熟悉，有錯誤），懂得利用|qp|=2.5列出x的方程，這說明他有一定的方程思想，但解方程時出了錯誤，造成漏掉一解。這說明他算術根的概念不清，基本功不紮實。
最後他能解決本題的關鍵一點是他想到mn的中點q，並鏈結qp。
從教師的作用來看，只是對他的解題進行引導和幫助，引導他獲得解題思路，幫助他在主體自身的經驗範圍內重新組織內部的認知結構。這體現了建構主義的教學觀。
在張z對本題的思考過程中，為什麼遲遲不能獲得解題思路呢？要指導老師的慢慢誘導，才能獲得正確的解題思路呢？主要原因有：
①他沒有及時發現點p在x軸上的特殊性。如果一開始就能把點p設為p(x,0),那麼未知數的個數就會減少，思路就可望暢通。這表明他死記一般性結論，忽略特定條件下的結論。
作為指導教師，此時有必要誘導學生自行發現特殊性。
②根據什麼求x，一開始張z還是模糊不清，不知道如何使用已知條件。這與他對條件「∠mpn=90°」的理解有很大的關係，如果他能把「90°」與直角三角形聯絡起來，再從直角三角形想到它的有關性質，也許他就會更快地找到解題的思路（如他後來想到的性質：直角三角斜邊的中線等於斜邊的一半，如勾股定理等）。
或者把「90°」與pmpn聯絡起來，再從pmpn想到kpm·kpn=-1也可以列出x的方程。這說明張z現有的知識比較貧乏，聯絡舊知識的能力比較差，對當前資訊與已有知識進行加工的能力有欠缺。作為指導教師，此時，可以誘導學生從已知條件出發，聯想與已知條件相關的知識，如從「∠mpn=90°」可以想到什麼？
想到rt△mpn及其性質，想到kpm·kpn=-1，等等，然後捕捉有用的資訊，建立未知數的方程。
③他對直角三角形的有關知識沒有熟練掌握，沒有想到kpm·kpn=-1，造成建立未知數x 的方程的想法較慢實現。這也反映出張z擁有的「數學現實」。
可見對於張z來說，要單獨解決乙個解析幾何問題是有困難的，必須要有老師的指導，及時對他進行啟發、誘導，「充電」，才能可望把問題解決。教師的責任是對學生的學習進行引導和幫助。
個案二 （3月22日）
例題：已知定點a（3，0），p是單位圓x2+y2=1上的動點，∠aop的平分線交pa於m，求m點的軌跡方程。
張z狀態：畫出圖形（這說明他懂得利用圖形幫助思考）。流露出不想做的神情（這說明他解題的積極性不高，碰到困難容易低頭，缺乏鑽研精神。在指導教師的鼓勵下，他終於繼續思考下去）。
張問：am是不是等於pm（這說明他題意理解不清）。
輔導：已知的是角平分線。
張答：∠pom=∠moa。並問角平分線有什麼性質（他想利用已知條件，又不知道如何利用，這說明他現有的相關知識比較貧乏）。
看樣子他是真的不懂。所以我只能為他提供，所以他寫出了po=1，oa=3，，（這說明他定比分點的概念模糊）我說am與ma不一樣，它們表示數量不是距離。所以他更正為。
並問點p在圓上運動都有這個式子嗎？我說是的。過一會兒，沒什麼動靜，我忍不住了，問點m的軌跡知道嗎？
（我以為他會說不知道，然後把他引導到求軌跡方程的方法上：末知軌跡的型別，求軌跡方程一般可用軌跡法，即設m（x,y），然後列x、y的關係式。）沒想到他竟然說軌跡是橢圓，我問為什麼？
他說出了p點在幾個特殊位置時，m點的位置好象在橢圓上，所以猜橢圓。我說很好（雖然結論錯，但他懂得用特殊位置去作猜想，這種想法應該鼓勵。這也說明他能用運動觀點思考問題）。
但你必須證明你的猜想，也就是說你必須求出m的軌跡方程後才知道猜想是否正確。
如何求呢？我提示設點m的什麼，他說座標(x,y)，我問要x、y幹什麼？他說列x、y的關係式，我說很好，你列式（這說明他懂得求軌跡方程是求出點的座標x,y的關係，應該加以肯定）。
過了一會兒，他說不懂（這表明他不懂利用來列x,y的關係，不懂它的幾何意義）。我提示他用座標表示，他問是不是要設p的座標，我說是的。所以他設p(x1,y1)，但還是寫不出來（原來他用座標表示數量還不懂）。
我說終點減起點，他才寫出=，我說y的關係呢？他又寫出=，並寫出x1=2x-1，y1=4y（兩式化簡都算錯），並把x1、y1代入圓方程得(2x-1)2+(4y)2=1，並化簡為x2-x+4y2=0，但他還不知道這是橢圓的方程。我說，如果按你的結論的確是橢圓，但運算過程有錯。
經重新計算，才算對結論。（值得高興的是他用了代入法求x,y的關係，遺憾的是他總是算錯！）
分析：從整個數學活動過程來看，教師參與活動的程度比較大，指導的次數比較多，學生自我表現出來的知識比較少。這說明本問題與該生的實際水平有一定的距離。
同時也看到，該生的知識缺陷較嚴重，轉化能力、運算能力較差。張z的直觀形象思維能力不弱，表現在他畫圖正確，且能利用圖形運動作猜想，這也說明他有數形結合思想和運動觀點。此外他基本懂得求點的軌跡方程實質上是求點的座標x,y的關係，懂得用動點在圓上，它的座標適合方程，來建立x,y的關係，其實這是用代入法求軌跡方程的方法。
從他參與數學活動的態度來看，一開始他就知難而退，可能是要用到的知識多數不懂，沒有信心，但在教師的幫助下及時補上了相關的知識後，在教師的鼓勵下，還能主動思考，積極提問，克服重重困難，理清了解題思路和解題過程。這說明他能接受外圍資訊，逐步克服困難，重新組織內部的認知結構。但花費的時間較多，學習的效率較低。
張z對本問題沒辦法獨立完成的主要原因有：①現有的相關知識缺陷較嚴重。例如角平分線的有關性質不懂，定比分點的有關知識不懂等等。
②運算、推理能力較差。例如對「」的化簡錯誤，對「x2-x+4y2=0」不會配方等。③聯想、轉化的能力較差。
例如對「」一直不會聯想到定比分點問題，或者轉化為座標關係等等。
二、解析幾何學習困難生解題指導策略研究
1 學習指導的理論依據
解析幾何學習困難生的指導問題是乙個值得研究的課題，是許多數學教育工作者一直關注的問題。對數學學習困難生的學習指導是乙個因人而異的十分細緻的工作，從不同的角度去考慮問題將會有不同的指導策略和不同的指導效果。
建構主義的學習觀認為，學生個體已有的認知結構存在著差別，認知能力也不同，學習的需求和方式也不一樣，各人根據自已的學習體驗來建構各自的知識，得到的理解也不同，這就給每位學生的學習賦予了個性化的特徵。
建構主義的教學觀認為，在教學過程中，教師的責任是對學生的學習進行引導和幫助。不是控制學生，不是灌輸知識，而是要分析學生知識錯誤的原因。要分析學生知識錯誤的原因就必須深入到他們的建構過程中去探查，然後幫助學生在主體自身的經驗範圍內重新組織內部的認知結構，以「適應」現實，建構起自已對內容意義的理解。
2 解析幾何學習困難生的特點
根據多次的輔導了解和這兩個個案的深入分析，我認為張z等同類學生的學習有如下特點：
①情感因素：對數學的學習興趣不高，缺乏知難而進的意志。
②經驗因素：缺乏一定的解題訓練，沒有足夠的解題經驗。
③知識因素：基本概念多數模糊不清，知識結構嚴重殘缺。
④能力因素：運算、推理能力較差，聯想、轉化能力較弱。
⑤思維方法：直觀思維強過抽象思維。思維方法比較單一。
3 解析幾何學習困難生解題指導策略
個別指導，關鍵在於了解學生，幫助學生完善知識結構，並在學生主體自身的經驗範圍內，重新組織內部的認知結構，以「適應」現實，建構起自己對內容、意義的理解。
通過對張z的個別輔導，可以總結出下列若干解析幾何學習困難生解題指導策略：
（1）選擇適合學生實際水平的題目進行訓練，提高學生的學習興趣和信心。
解析幾何學習困難生經常是由於題目做不會，成績差，而失去學習興趣和信心。在指導這些學生解題時，一定要充分考慮他們的實際水平，選題務必要適合他們的實際水平，一開始不能太難，要讓他們基本能做出來，或者經過啟發以後能做出來，使他們嚐到成功的樂趣，慢慢喜歡做題，樹立解題的信心。這一策略正好體現了「充分重視學生的情感因素」的理論。
（2）輔導時讓學生先思考問題後說出解題設想或疑難問題，以便引導時對症下藥。
根據建構主義的學習觀，數學學習不再是學生接受知識，將現成的，包裝好的知識仔仔細細地吸收和內化，而是乙個廣義的自己組織概念情境的活動的過程。因此教師對學生進行學習指導時，應該順應學生的學習情境，所提供的指導應該適合學生的實際。教師不能包辦學生的學習，教師只能為學生的學習提供引導和幫助，對學生的差錯作個別化的診斷，查原因。
所以教師必須對學生有充分的了解。例如了解學生對問題的理解情況、解題設想、知識缺陷和解題能力等。以便引導時對症下藥。
（3）在觀察學生的解題過程中，適當地引導和幫助，使學生學會思考問題、分析問題、解決問題的方法。
解析幾何歡迎光臨汕頭金山中學
解析幾何學習困難生個案研究與指導策略 盧鎮豪摘要 建構主義教學觀認為，在教學過程中，教師的責任是對學生的學習進行引導和幫助。幫助學生在主體自身的經驗範圍內重新組織內部的認知結構，以 適應 現實，建構起自已對內容和意義的理解。解析幾何學習困難生的學習非常需要教師的指導和幫助。如何指導解析幾何學習困難生...
歡迎光臨迎賓器製作報告
實驗原理 產品採用光敏電阻來檢測環境光線，當有人靠近迎賓器時，由於人體遮擋住部分光線，光敏電阻採集到的光線強度由強變弱，經c2耦合後經q1三極體高增益放大後輸入ic1的反相輸入端，這個訊號和同相輸入的訊號在ic1內部運算放大後形成觸發訊號，驅動語音電路工作，發出 你好！歡迎光臨！的女聲然後又自動進入...
解析幾何考綱
15 圓錐曲線與方程 圓錐曲線與方程 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.掌握橢圓的定義 幾何圖形 標準方程及簡單幾何性質.了解雙曲線 拋物線的定義 幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質.理解數形結合的思想.了解圓錐曲線的簡單應用.20 本小題滿分12分 ...