—基礎篇
目錄 2
第一部分概念辨析 3
1集合 3
2 函式 4
3 直線與方程 7
4 圓的方程 10
5 立體幾何 12
5.1 柱、錐、臺、球的結構特徵 12
5.2 空間幾何體的三檢視 13
5.3 空間幾何體的直觀圖—斜二測畫法 13
5.4 柱體、錐體、台體的表面積與體積 14
5.5 空間點、直線、平面的位置關係 14
5.6 空間中的平行問題 16
5.7空間中的垂直問題 16
5.8 空間角問題 17
5.9 空間直角座標系 18
6演算法初步 19
7 三角函式 23
第二部分常用公式 31
（1）直線的傾斜角
定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值範圍是0°≤α＜180°。
（2）直線的斜率
① 定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
當時，； 當時，； 當時，不存在。
② 過兩點的直線的斜率公式：
注意下面四點：
當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；
k與p1、p2的順序無關；
以後求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的座標直接求得；
求直線的傾斜角可由直線上兩點的座標先求斜率得到。
（3）直線方程
①點斜式：直線斜率k，且過點
注意： 當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。
當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫座標都等於x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b
③兩點式：（）直線兩點，
④截矩式：
其中直線與軸交於點,與軸交於點,即與軸、軸的截距分別為。
⑤一般式：（a，b不全為0）
注意：各式的適用範圍特殊的方程如：
平行於x軸的直線：（b為常數）； 平行於y軸的直線：（a為常數）；
（4）直線系方程：即具有某一共同性質的直線
① 平行直線系
平行於已知直線（是不全為0的常數）的直線系：（c為常數）
② 過定點的直線系
（ⅰ）斜率為k的直線系：，直線過定點；
（ⅱ）過兩條直線，的交點的直線系方程為
（為引數），其中直線不在直線系中。
（5）兩直線平行與垂直
當，時，
；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。
（6）兩條直線的交點
相交交點座標即方程組的一組解。
方程組無解方程組有無數解與重合
（7）兩點間距離公式：設是平面直角座標系中的兩個點，
則 （8）點到直線距離公式：一點到直線的距離
（9）兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。
（1）圓的定義：平面內到一定點的距離等於定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。
（2）圓的方程
標準方程，圓心，半徑為r；
一般方程
當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為
當時，表示乙個點； 當時，方程不表示任何圖形。
求圓方程的方法：
一般都採用待定係數法：先設後求。確定乙個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出d，e，f；
另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。
（3）直線與圓的位置關係：
直線與圓的位置關係有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：
① 設直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；
② 設直線，圓，先將方程聯立消元，得到乙個一元二次方程之後，令其中的判別式為，則有
；；注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點座標，r表示半徑。
過圓上一點的切線方程：
① 圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為 (課本命題)．
② 圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)．
（4）圓與圓的位置關係：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
設圓，兩圓的位置關係常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。
當時兩圓外離，此時有公切線四條；
當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；
當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；
當時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；
當時，兩圓內含； 當時，為同心圓。
（1） 稜柱
定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜柱、四稜柱、五稜柱等。
表示：用各頂點字母，如五稜柱或用對角線的端點字母，如五稜柱。
幾何特徵：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側稜平行且相等；平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。
（2） 稜錐
定義：有乙個面是多邊形，其餘各面都是有乙個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜錐、四稜錐、五稜錐等。
表示：用各頂點字母，如五稜錐。
幾何特徵：側面、對角面都是三角形；平行於底面的截面與底面相似，其相似比等於頂點到截面距離與高的比的平方。
（3） 稜臺
定義：用乙個平行於稜錐底面的平面去截稜錐，截面和底面之間的部分。
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜態、四稜臺、五稜臺等。
表示：用各頂點字母，如五稜臺。
幾何特徵：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側面是梯形 ③側稜交於原稜錐的頂點。
（4） 圓柱
定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其餘三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特徵：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是乙個矩形。
（5） 圓錐
定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特徵：①底面是乙個圓；②母線交於圓錐的頂點；③側面展開圖是乙個扇形。
（6） 圓台
定義：用乙個平行於圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分。
幾何特徵：①上下底面是兩個圓；②側面母線交於原圓錐的頂點；③側面展開圖是乙個弓形。
（7） 球體
定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體。
幾何特徵：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等於半徑。
定義三檢視：正檢視（光線從幾何體的前面向後面正投影）；側檢視（從左向右）、
俯檢視（從上向下）
注：正檢視反映了物體上下、左右的位置關係，即反映了物體的高度和長度；
俯檢視反映了物體左右、前後的位置關係，即反映了物體的長度和寬度；
側檢視反映了物體上下、前後的位置關係，即反映了物體的高度和寬度。
斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。
（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。
（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）
（3）柱體、錐體、台體的體積公式
（4）球體的表面積和體積公式：v= ； s=
（1）平面
① 平面的概念：a.描述性說明；b.平面是無限伸展的；
② 平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在乙個銳角內）；
也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面bc。
③ 點與平面的關係：點a在平面內，記作；點不在平面內，記作
點與直線的關係：點a的直線l上，記作：a∈l； 點a在直線l外，記作al；
直線與平面的關係：直線l在平面α內，記作lα；直線l不在平面α內，記作lα。
（2）公理1：如果一條直線的兩點在乙個平面內，那麼這條直線是所有的點都在這個平面內。（即直線在平面內，或者平面經過直線）
應用：檢驗桌面是否平； 判斷直線是否在平面內
用符號語言表示公理1：
（3）公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有乙個平面。
推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。
公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據 ②它是證明平面重合的依據
（4）公理3：如果兩個不重合的平面有乙個公共點,那麼它們有且只有一條過該點的公共直線
符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。
符號語言：
公理3的作用：
①它是判定兩個平面相交的方法。
②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關係：交線必過公共點。
③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。
（5）公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行
（6）空間直線與直線之間的位置關係
① 異面直線定義：不同在任何乙個平面內的兩條直線
② 異面直線性質：既不平行，又不相交。
③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線
④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點o，分別引直線a』∥a，b』∥b，則把直線a』和b』所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的範圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。
說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理
（2）在異面直線所成角定義中，空間一點o是任取的，而和點o的位置無關。
②求異面直線所成角步驟：
a、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。 b、證明作出的角即為所求角 c、利用三角形來求角
（7）等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行，那麼這兩角相等或互補。
高三數學衝刺指導手冊 基礎篇
基礎篇目錄 2 第一部分概念辨析 3 1集合 3 2 函式 4 3 直線與方程 7 4 圓的方程 10 5 立體幾何 12 5.1 柱 錐 臺 球的結構特徵 12 5.2 空間幾何體的三檢視 13 5.3 空間幾何體的直觀圖 斜二測畫法 13 5.4 柱體 錐體 台體的表面積與體積 14 5.5 空...
新高三數學衝刺指導手冊 衝刺篇
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