「圖形的全等」學習早知道（1）
在幾何學習中,「圖形的全等」一章的學習是幾何學習成敗的試金石，幾何入門與否就看是不是較好地把握了本章的內容和學習方法.本章重點研究和探索了三角形全等的相關問題，包括全等圖形、全等三角形的定義、全等三角形的性質、全等三角形的判定方法的探索，因此本章的重點是掌握全等三角形的知識並綜合應用它們來解決問題.
1.全等圖形
通過認識現實生活中豐富的全等圖形，獲知「能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形」.抓住圖形全等的關鍵是形狀相同、大小相等，這一點還可結合圖形變換的特徵說明：圖形經過平移、旋轉、翻摺後，不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置，因此經過平移、旋轉、翻摺的變換，其變換前後的圖形是全等的.
為此，必須形成的乙個認識是：全等圖形的面積相等，但面積相等的圖形不一定全等.
2.全等三角形
根據上述全等圖形的定義，能夠完全重合的兩個三角形則稱為全等三角形.兩個圖形的全等可用符號「≌」來形象、直觀地表示和記寫，其中的「∽」表示圖形的形狀相同,「=」表示圖形的大小相等.在表示△abc≌△def時，一定要將完全重合的兩個三角形的對應頂點a、b、c與d、e、f寫在對應的位置上.
三角形的元素有六個，即三條邊和三個角，通過「全等三角形」的定義可得，三條邊、三個角能夠分別對應重合，我們將能夠完全重合的邊稱為對應邊，能夠完全重合的角稱為對應角.例如△abc≌△def，那麼這兩個全等三角形的對應邊分別是ab 和de、bc和ef、ca和fd，對應角分別是∠a和∠d、∠b和∠e、∠c和∠f，因此有結論:ab=de、bc=ef、ca=fd、∠a=∠d、∠b=∠e、∠c=∠f.
由此得到全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等.
例1.如圖,△abd≌△cdb，其中ab=cd，下面四個結論中不正確的是().
解析：根據全等三角形的性質：因為△abc≌△ade，所以∠b=∠d=20°,∠c=∠e=36°,bc=de=5cm；又由三角形的內角和定理:
∠bac=180°-∠b-∠c=124°，從而得∠dac=∠bac-∠1=124°-20°=104°.
3.三角形全等的條件
為什麼要探索三角形全等的條件，即全等三角形的判定方法呢?根據全等三角形的定義，如果欲判定兩個三角形全等，那麼現在只能具備定義的條件，定義要求有三條邊和三個角分別對應相等的兩個三角形才能全等，因此用定義來判別兩個三角形的全等需要六個相等的條件，這樣用定義來判定全等三角形條件過多.結合生活經驗，經過實驗研究發現，可以減少條件，發現確定乙個三角形的條件不能少於三個，因此選定了用三個相等的條件，來判定兩個三角形全等的探索是恰當的，如此形成了已知三個條件的組合有：
兩邊一角(包括邊角邊、邊邊角)、兩角一邊(包括角邊角、角角邊)、三邊(邊邊邊)、三角(角角角).
一般的三角形全等的判別方法有哪些呢?通過對以上條件組合的實驗驗證，發現其中有四種組合可以成為判定全等三角形的方法：即①邊角邊(sas);②角邊角(asa);③角角邊(aas);④邊邊邊(sss).
特別值得提醒的是：角角角(aaa)的條件只能保證兩個三角形的形狀相同，而不能保證兩個三角形的大小相等，不能作為判定兩個三角形全等的條件，由此也可見，在判定兩個三角形全等的四個方法中，組合的三個條件中應至少有一組條件為邊.
另外邊邊角(ssa)的組合條件也不能作為全等的判定方法，這是最易致錯的問題，所以同學們在學習判定時應力避，應加深對邊邊角條件的理解，現舉反例如下:
如圖所示，在銳角△abc中，以a為圓心,ac為半徑畫弧，交bc於d，連線ad，則在△abc和△abd中，有條件ab=ab、ad=ac,∠b是公共角，有∠b=∠b，以上滿足了邊邊角的條件，但顯然△abc與△abd是不全等的.
從圖形變換到常見全等三角形
新圖形的形成與圖形的平移、旋轉、翻摺等變換有關,因此在解決全等三角形的問題時,要準確快速地識別全等三角形,就必須掌握怎樣通過變換來形成常見的圖形,大致有以下幾種:
1.平移型
如圖1的幾種圖形屬於平移型
圖1它們可看成是對應邊在一直線上移動所構成的,故該對應邊的相等關係一般可由同一直線上的線段的和或差而得到.
2.旋轉型
如圖2的幾種圖形屬於旋轉型,它們可看成是以三角形中的某一點為中心旋轉所形成的,故一般有一對相等的角隱含在對頂角或某些角的和或差中.
圖23.對稱型
如圖3的幾種圖形屬於對稱型,它們的特點是可沿某一直線對折,直線兩旁的部分能完全重合,也即形成軸對稱的圖形,重合的頂點就是全等三角形的對應頂點.
圖3例如圖4的平行四邊形abcd中就包含了一對旋轉型的全等三角形,其中△abc可看成是由△cda繞ac邊的中點旋轉而成的;而圖5的全等三角形△abc和△def中,△abc可以看成是△def繞著cf的中點旋轉而成的.
圖4圖5
學習全等，注意「對應」
我們知道:兩個三角形全等時,互相重合的邊叫做對應邊,互相重合的角叫做對應角;書寫全等三角形時,一般把對應頂點的字母放在對應的位置,凡此種種說明「對應」對於全等三角形很關鍵,明確兩個全等三角形的對應元素非常重要.那麼如何準確迅速地確定兩個全等三角形的對應邊和對應角呢?
辨認全等三角形的對應元素最有效的方法,是先找出全等三角形的對應頂點,再確定對應角和對應邊.例如,已知△abc≌△efd,由記法可知:a與e、b與f、c與d成對應點,則三角形的邊ab與ef、bc與fd、ac與ed當然是對應邊,對應邊所夾的角就是對應角.
此外,還有如下規律:
(1)全等三角形對應邊所對的角是對應角,兩條對應邊所夾的角是對應角;
(2)全等三角形對應角所對的邊是對應邊,兩個對應角所夾的邊是對應邊;
(3)有公共邊的,公共邊可視為對應邊;
(4)有公共角的,公共角可視為對應角;
(5)有對頂角的,對頂角可視為對應角;
解析:由於已知△abc≌△dcb,且ab=dc,說明a點對d點,b點對c點,從而得c點對b點,只要將對應字母寫在對應的位置上,即可找到對應角和對應邊.答案是:
∠a與∠d、∠abc與∠dcb、∠acb與∠dbc是對應角,bc與cb、ac與db是對應邊.
例2.如圖,已知△eab≌△dce,ab、ec分別是兩個三角形的最長邊,∠a=∠c=35°,∠cde=100°,∠deb=10°,求
∠aec的度數.
解析:根據兩直線平行的判定條件,應尋找角之間相等或互補的關係,根據全等三角形對應角相等,可得到這種
關係.解:∵△abc≌△fed(已知),
∴∠a=∠f(全等三角形對應角相等).
∴ab∥ef(內錯角相等,兩直線平行)
例2.如圖,已知bc=de,be=dc,判斷bc與de的位置關係,並說明你的理由?小明是這樣想的,請你給小明的每個說理步驟填上合適的理由.
解:判斷知bc∥de.
連線bd,在△bcd和△deb中,
bc=de(),
be=dc(),
bd=db(),
解析:由觀察與測量,易猜想到ad與bc的位置關係是ad⊥bc,但怎樣說理呢?這裡要從全等三角形的性質入手,得
出∠adb=∠adc,又由於d、b、c成一條直線,所以∠adb+∠adc=180°,所以∠adb=∠adc=90°,由垂直的定義得ad與bc的垂直位置關係.
a卷一、選擇題
1.下列判斷中正確的是().
a.全等三角形是面積相等的三角形
b.面積相等的三角形都是全等的三角形
c.等邊三角形都是面積相等的三角形
d.面積相等的直角三角形都是全等直角三角形
2.如圖,△fab≌△ecd,則將△fab通過()基本運動可得△ecd.
a.平移
b.翻摺
c.旋轉
d.沒有哪種
° b.70° c.60° d.50°
心保至另見
7.如下圖,rt△abc沿直角邊bc所在的直線向右平移得到△def,下列結論中錯誤的是().
a.2個
b.4個
c.6個
d.8個
二、填空題
1.如圖,四邊形abcd與四邊形a′b′c′d′全等,則∠a′=°,∠a=°,b′c′=,ad=.
2.已知△abc≌△def,△def的周長為32cm,de=9cm,ef=12cm,則ac=.
3.如圖,△abc經過旋轉後能與△ade重合,則△abc與全等,ab=;若∠bae=120°,∠bad=40°,則∠bac=°.
第3題圖第4題圖
4.如圖,已知△ecd≌△bca,ac⊥bd於c,bc=4cm,ac=7cm,∠b=60°,則ae=cm,∠aed=°.
三、解答題
1.如圖網格中有△abc及線段de,在網格上找一點f(必須在網格的格點上),使△def與△abc全等,這樣的點有幾個?請畫出這些三角形.
2.如圖,ac=df,∠a=∠d,ae=db,那麼bc與ef的大小關係如何?為什麼?
4.如圖,在△abc中,ab=ac,ad平分∠bac,(1)寫出圖中全等的三角形;(2)ad與bc有什麼關係?為什麼?
b卷一、選擇題
1.能判定△abc≌△a′b′c′的條件是().
2.如圖,ab=ad,bc=cd,則全等三角形共有().
a.8b.7
c.6d.5
4.如圖,∠dbc和∠ecb是△abc的兩個外角,點p是∠dbc、∠ecb兩角平分線的交點,pm、pn、pq分別是p點到ab、ac、bc三邊的垂線段;pm、pn、pq的數量關係是().
c.∠c=∠d
d.∠aob=∠c+∠d
二、填空題
1.如圖所示,ab=ad,∠1=∠2,新增乙個適當的條件,使△abc≌△ade,則需要新增的條件是.
第1題第2題
2.如圖,已知∠b=∠dec,ab=de,要推得△abc≌△dec;(1)若以「sas」為依據,還缺條件;(2)若以「asa」為依據,還缺條件;(3)若以「aas」為依據,還缺條件.
3.如圖,若ab=dc,ac=db,則有△abc≌,依據是,則∠abd=.
第3題第4題
第5題第6題
6.小濤在家打掃衛生,一不小心把一塊三角形的玻璃台板打碎了,如圖所示,如果要配一塊完全一樣的玻璃,至少要帶
塊碎片去配,序號分別是.
三堯解答題
1.如圖,已知∠1=∠2,ab=ac.試說明bd=cd.
3.如圖,已知ab=dc,ac=db,試說明∠a=∠d.
5.如圖,將一等腰直角三角形abc(ac=bc)的直角頂點置於直線l上,且過a、b兩點分別作直線l的垂線,垂足分別為d、e.請你仔細觀察後,在圖中找出一對全等三角形,並寫出說明它們全等的過程.
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