2013中考數學50個知識點專練33 圖形的旋轉
一、選擇題
1．(2011·天津)下列汽車標誌中，可以看作是中心對稱圖形的是( )
答案 a
解析只有圖形a旋轉180°後與原圖形能夠完全重合，故選a.
2．(2011·嘉興)如圖，點a、b、c、d、o都在方格紙的格點上，若△cod是由△aob繞點o按逆時針方向旋轉而得，則旋轉的角度為( )
a．30°b．45°c．90°d．135°
答案 c
解析線段ob旋轉後與od重合，∠bod＝90°，所以旋轉角度為90°.
3．(2010·杭州)如圖，在△abc中，∠cab＝70°.在同一平面內，將△abc繞點a旋轉到△ab′c′的位置，使得cc′∥ab，則∠bab′＝( )
a．30°b．35°c．40°d．50°
答案 c
解析由cc′∥ab，得∠c′ca＝∠cab＝70°，由旋轉，得ac′＝ac，∴∠cc′a＝∠c′ca＝70°，∴旋轉角∠c′ac＝40°，∠b′ab＝40°.
4.(2011·湖州)如圖，已知△oab是正三角形，oc⊥ob，oc＝ob，將△oab繞點o按逆時針方向旋轉，使得oa與oc重合，得到△ocd，則旋轉的角度是( )
a．150°b．120°c．90°d．60°
答案 a
解析 ∵△oab是正三角形，∴∠aob＝60°.又∵oc⊥ob，∠boc＝90°，∴∠aoc＝60°＋90°＝150°.旋轉的角度是150°.
5．(2011·大理)如圖，等腰rt△abc繞c點按順時針旋轉到△a1b1c1的位置(a，c，b1在同一直線上)，∠b＝90°，如果ab＝1，那麼ac運動到a1c1所經過的圖形面積是( )
a. b. c. d.
答案 d
解析在△abc中，∠b＝90°，ab＝bc＝1，所以ac＝，s＝π×()2＝.
二、填空題
6．(2011·泉州)如圖所示，以點o為旋轉中心，將∠1按順時針方向旋轉110°得到∠2，若∠1＝40°，則∠2的餘角為度．
答案 50
解析由旋轉的性質得∠1＝∠2＝40°，所以∠2的餘角為90°－40°＝50°.
7．(2011·南京)如圖，e、f分別是正方形abcd的邊bc、cd上的點，be＝cf，連線ae、bf，將△abe繞正方形的中心按逆時針方向轉到△bcf，旋轉角為a(0°＜a＜180°)，則∠a
答案 90°
解析 ∵△abe≌△bcf，
∴∠bae＝∠cbf.
∵∠bae＋∠bea＝90°，
∴∠cbf＋∠bea＝90°
∴ae與bf所成的夾角等於90°，即∠a＝90°.
8．(2011·泰州)如圖，△abc的三個頂點都在5×5的網格(每個小正方形的邊長均為1個單位長度)的格點上，將△abc繞點b順時針旋轉到△a′bc′的位置，且點a′、c′仍落在格點上，則線段ab掃過的圖形的面積是平方單位(結果保留π)．
答案 解析在rt△abc中，ab＝＝.
又∵∠a′ba＝∠c′bc＝90°，∴線段ab掃過的圖形的面積是×π×()2＝π.
9．(2010·台州)如圖，菱形abcd中，ab＝2，∠c＝60°，菱形abcd在直線l上向右作無滑動的翻滾，每繞著乙個頂點旋轉60°叫一次操作，則經過36次這樣的操作，菱形中心o所經過的路徑總長為結果保留π)
答案 (8＋4)π
解析在第一次、第二次操作中，中心o所經過的路徑為弧長π×＝π；
在第三次操作中，中心o所經過的路徑為弧長π×1＝π；
所以路徑總長為12×＝(8＋4)π.
10．(2011·宜賓)如圖，在△abc中，ab＝bc，將△abc繞點b順時針旋轉α度，得到△a1bc1，a1b交ac於點e，a1c1分別交ac、bc於點d、f，下列結論：①∠cdf＝α；②a1e＝cf；③df＝fc；④ad＝ce；⑤a1f＝ce.其中正確的是寫出正確結論的序號)
答案 ①②⑤
解析 ∵ab＝bc，
∴∠a＝∠c＝∠c1.
又∵∠aba1＝∠cbc1＝α，ab＝a1b＝c1b，
∴△abe≌△c1bf.
∴be＝bf，ae＝fc1.
在△cdf與△bc1f中，
∠c＝∠c1，
∠cfd＝∠c1fb，
∴∠cdf＝∠cbc1＝α.
由a1b－be＝bc－bf，得a1e＝cf，a1c1－fc1＝ac－ae，得a1f＝ce，故結論①、②、⑤正確．
三、解答題
11．(2011·茂名)畫圖題：如圖，將△abc繞點o順時針旋轉180°後得到△a1b1c1.請你畫出旋轉後的△a1b1c1.
解如圖所示：
12．(2011·威海)我們學習過：在平面內，將乙個圖形繞乙個定點沿著某乙個方向轉動乙個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點叫旋轉中心．
(1)如圖①，△abc≌△def，△def能否由△abc通過一次旋轉得到？若能，請用直尺和圓規畫出旋轉中心；若不能，試簡要說明理由．
(2)如圖②，△abc≌△mnk，△mnk能否由△abc通過一次旋轉得到？若能，請用直尺和圓規畫出旋轉中心；若不能，試簡要說明理由．(保留必要的作圖痕跡)
解 (1)能，點o1就是所求作的旋轉中心.
(2)能，點o2就是所求作的旋轉中心．
13．(2011·聊城)將兩塊大小相同的含30°角的直角三角板(∠bac＝∠b′a′c＝30°)按圖①方式放置，固定三角板a′b′c，然後將三角板abc繞直角頂點c順時針方向旋轉(旋轉角小於90°)至圖②所示的位置，ab與a′c交於點e，ac與a′b′交於點f，ab與a′b′相交於點o.
(1)求證：△bce≌△b′cf；
(2)當旋轉角等於30°時，ab與a′b′垂直嗎？請說明理由．
解 (1)∵∠bce＋∠a′ca＝90°＝∠a′ca＋∠b′cf，
∴∠bce＝∠b′cf，
又∵∠b＝∠b′，bc＝b′c，
∴△bce≌△b′cf.
(2)ab與a′b′垂直，理由如下：
旋轉角等於30°，即∠ecf＝30°，所以∠fcb′＝60°，又∠b＝∠b′＝60°，根據四邊形的內角和可知∠bob′的度數為360°－60°－60°－150°＝90°，所以ab與a′b′垂直．
14．(2010·雞西)平面內有一等腰直角三角板(∠acb＝90°)和一直線mn.過點c作ce⊥mn於點e，過點b作bf⊥mn於點f.當點e與點a重合時(如圖1)，易證：
af＋bf＝2ce.當三角板繞點a順時針旋轉至圖2、圖3的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段af、bf、ce之間又有怎樣的數量關係，請直接寫出你的猜想，不需證明．
解圖2中，af＝bf＝2ce成立，理由如下：
過b畫bg⊥ce於g.
易證△ace≌△cbg，四邊形efbg是矩形，
∴bg＝ce，ae＝cg，bf＝ge，
ef＝bg.
∴af＋bf＝ae＋ef＋bf＝cg＋bg＋eg＝2ce；
圖3中，af＋bf＝2ce不成立，應為af－bf＝2ce.
過b畫bh⊥ce於h，
易證△ace≌△cbh，
四邊形efbh是矩形，
∴bh＝ce，ae＝ch，bf＝eh，
ef＝bh.
∴af－bf＝ae＋ef－(ch－ce)＝2ce.
15．(2011·安徽)在△abc中，∠acb＝90°，∠abc＝30°，將△abc繞頂點c順時針旋轉，旋轉角為θ(0°＜θ＜180°)，得到△a′b′c.
(1)如圖1，當ab∥cb′時，設a′b′與cb相交於點d.
證明：△a′cd是等邊三角形；
圖1(2)如圖2，連線a′a、b′b，設△aca′和△bcb′的面積分別為s△aca′和s△bcb′.
求證：s△aca′∶s△bcb′＝1∶3；
圖2(3)如圖3，設ac中點為e，a′b′中點為p，ac＝a，連線ep，當θ＝______度時，ep長度最大，最大值為
圖3解 (1)∵ab∥cb′，∴∠abc＝∠bcb′＝30°，
∴∠a′cd＝60°.
又∵∠a′＝60°，
∴∠a′cd＝∠a′＝∠a′dc＝60°，
∴△a′cd是等邊三角形．
(2)∵∠aca′＝∠bcb′，ac＝a′c，bc＝b′c，
∴△aca′∽△bcb′，相似比為ac∶bc＝1∶，
∴s△aca′∶s△bcb′＝1∶3.
(3)120°；a.
當e、c、p三點不共線時，ec＋cp>ep；
當e、c、p三點共線時，ec＋cp＝ep；
綜上所述，ep≤ec＋cp；
則當旋轉120°時，e、c、p三點共線，ep長度最大，此時ep＝ec＋cp＝a＋a＝a.
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