山東李其明
1．觀察**分析問題、解決問題
例1．（2023年濟寧市）下表是天馬冰箱廠2023年前半年每個月的產量：
（1）根據**中的資料，你能否根據x的變化，得到y的變化趨勢？
（2）根據**你知道哪幾個月的月產量保持不變？哪幾個月月產量在勻速增長？哪幾個月產量最高？
（3）試求2023年前半年的平均月產量是多少？
分析：用**表示現實生活中的數量關係，簡明易懂，便於尋找變化規律，估計**未知量，因此在解題時，要仔細觀察**中有關資料是解決本題的關鍵．
解：（1）隨著月份x的增大，月產量y正在逐漸增加；
（2）1月、2月兩個月的月產量不變，3月、4月、5月三個月的產量在勻速增多，6月份產量最高；
（3）（10000+10000+12000+14000+18000）÷6≈13000（臺）．
故2023年前半年的平均月產量約為13000臺．
點評：本題利用**來表示變數之間的關係，根據**中的資料，可以對變化趨勢進行**．
練習1：1．小王利用計算機設計了乙個程式，輸入和輸出的資料如下表：
那麼，當輸入資料8時，輸出的資料是（ ）
（a）（b）（c）（d）．
答案：c．
2．為了了解某小區居民的用水情況，隨機抽查了該小區10戶家庭的月用水量，結果如下：
(1) 計算這家庭的平均月用水量；
(2) 如果該小區有500戶家庭，根據上面的計算結果，估計該小區居民每月共用水多少噸？
答案：（1）14噸（2）7000噸．
2．歸納變數關係式，解決問題
例2．（2023年成武市）某移動通訊公司開設了兩種通訊業務，「全球通」：使用時首先繳50元月租費，然後每通話1分鐘，自付話費0.4元；「動感地帶」：
不繳月租費，每通話1分鐘，付話費0.6元（本題的通話均指市內通話），若乙個月通話x分鐘，兩種方式的費用分別為元和元．
（1）寫出、與x之間的關係式；
（2）乙個月內通話多少分鐘，兩種移動通訊費用相同？
（3）某人估計乙個月內通話300分鐘，應選擇哪種移動通訊合算些？
分析：本題需要建立實際問題的變數的關係式，結合方程等知識，討論確定最優方案，獲得最佳效益．
解：（1）；
（2）由=，即，解得x=250，當每個月通話250分鐘時，兩種移動通訊費用相同．
（3）當x=300時， =170， =180，＜，所以使用「全球通」合算．
點評：解決此類問題時，關鍵是要學會數學建模的思想方法，準確地將實際問題中已知條件和所求的結論抽象為數學語言再轉化關係式，再利用這些關係式來解決其他問題．
練習2：1．已知正方形abcd的邊長是1，e為cd邊的中點， p為正方形abcd邊上的乙個動點，動點p從a點出發，沿a b c e運動，到達點e.若點p經過的路程為自變數x，△ape的面積為函式y，則當y＝時，x的值等於________．
答案：．
2．在許多情況下，直接測量物體的高度很困難，而測量物體在陽光下的影長卻很容易辦到，因此也可以把影長（公尺）看作是自變數，而把物高h（公尺）看作是因變數，如果在某時刻高1.5公尺的竹竿的影長為2.5公尺．
（1）寫出表示這一時刻物高h與影長之間的關係的關係式．
（2）利用你寫出的關係式計算，在這一時刻影長為30公尺的旗桿的高度．
答案：（1）；（2）18公尺．
3．利用圖象說明因變數的變化趨勢
例3．（2023年三明市）汽車在行駛的過程中，速度往往是變化的，如圖1表示一輛汽車的速度隨時間變化而變化的情況．
（1）汽車從出發到最後停止共經過了多少時間？它的最高時速是多少？
（2）汽車在哪些時間段內保持勻速行駛？時速分別是多少？
（3）出發後8分到10分之間可能發生了什麼情況？
（4）用自己的語言大致描述這輛汽車的行駛情況．
分析：此圖反映的是速度隨時間變化的情況．
通常情況下，「水平線」代表汽車勻速行駛或靜止，
「上公升的線」代表汽車的速度在增加，「下降的線」
代表汽車的速度在減少．
解：（1）汽車從出發到最後停止共經過24分鐘，汽車最高時速是90千公尺／時．
（2）大約在2分到6分，18分到22分之間汽車勻速行駛，速度分別是30千公尺／時或
90千公尺／時．
（3）此時汽車處於靜止狀態，可能是遇到紅燈等情況，回答合理即可．
（4）這裡關注的是對變化過程的大致刻畫，答案只要合理即可．
例4．（2023年常德市）小明騎自行車上學，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車出了故障，只好停下來修車．車修好後，因怕耽誤上課，他比修車前加快了騎車速度勻速行駛．下面是行駛路程s(公尺)關於時間t(分)的函式影象，那麼符合這個同學行駛情況的影象大致是 （ ）．
a解：根據題意，結合圖象資訊，很容易選（ｃ）．
點評：以上兩例中的圖象有生動的實際背景，必須仔細觀察折線的有關特徵，聯絡實際問題的背景知識，來解答題目中的問題，千萬注意要搞清楚橫軸與縱軸表示的量的意義，重點考查學生從圖象中獲取資訊的能力及有條理地進行語言表達的能力．
練習3：「龜兔賽跑」講述了這樣的故事：領先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺．當它醒來時，發現烏龜快到終點了，於是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點……．用s1、s2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下列圖象中與故事情節相吻合的是
答案：d．
４．從圖象獲取變數、自變數的對應值，綜合識別圖象
例6（2023年常州市）某水電站的蓄水池有2個進水口，1個出水口，每個進水口進水量與時間的關係如圖甲所示，出水口出水量與時間的關係如圖乙所示.已知某天0點到6點,進行機組試執行,試機時至少開啟乙個水口,且該水池的蓄水量與時間的關係如圖丙所示：
給出以下3個判斷：
①0點到3點只進水不出水；②3點到4點,不進水只出水；③4點到6點不進水不出水. 則上述判斷中一定正確的是（ ）
abcd、①②③
解：根據題意，結合圖象資訊，很容易選（ｄ）．
點評：本題顯然是一道選擇題，但它綜合地考查學生識別圖象的能力，從而作出綜合判斷，決策．
練習4：為了增強抗旱能力，保證今年夏糧豐收，某村新修建了乙個蓄水池，這個蓄水池安裝了兩個進水管和乙個出水管（兩個進水管的進水速度相同）乙個進水管和乙個出水管的進出水速度如圖1所示，某天0點到6點（到少開啟乙個水管），該蓄水池的蓄水量如圖2所示，並給出以下三個論斷：①0點到1點不進水，只出水；②1點到4點不進水，不出水；③4點到6點只進水，不出水.
則一定正確的論斷是（ ）
a、①③ b、②③ c、③ d、①②③
答案：應選d．
５．根據題意，讀懂圖象，解決問題
例7．（2023年資陽市）甲騎自行車、乙騎電單車沿相同路線由a地到b地，行駛過程中路程與時間的函式關係的圖象如圖6，根據圖象解決下列問題：
(1) 誰先出發？先出發多少時間？誰先到達終點？先到多少時間？
(2) 分別求出甲、乙兩人的行駛速度；
(3) 在什麼時間段內，兩人均行駛在途中(不包括起點和終點)？在這一時間段內，請你根據下列情形，分別列出關於行駛時間x的方程或不等式(不化簡，也不求解)：① 甲在乙的前面；② 甲與乙相遇；③ 甲在乙後面．
解：(1) 甲先出發；先出發10分鐘；乙先到達終點；先到5分鐘.
(2) 甲的速度為每分鐘0.2公里， 乙的速度為每分鐘0.4公里．
(3) 在甲出發後10分鐘到25分鐘這段時間內，兩人都行駛在途中.
設甲行駛的時間為x分鐘(10甲在乙的前面：0.2x>0.4(x-10) ；
甲與乙相遇：0.2x=0.4(x-10) ；甲在乙後面：0.2x<0.4(x-10)．
例8．（2023年大連市）小明、爸爸、爺爺同時從家裡出發到達同一目的地後立即返回，小明去時騎自行車，返回時步行；爺爺去時是步行，返回時騎自行車；爸爸往返都是步行．三人步行的速度不等，小明和爺爺騎自行車的速度相等，每個人的行走路程與時間的關係
如圖7中的a、b、c表示，根據圖象回答下列問題：
（１）三個圖象中哪個對應小明、爸爸、爺爺？
（２）小明家距離目的地多遠？
（3）小明與爺爺騎自行車的速度是多少？爸爸步行的速度是多少？
解：（１）根據題意，結合圖象資訊，ｃ對應小明；ａ對應爺爺 ｃ對應爸爸
（２）小明家距離目的地1200千公尺．
點評：以上兩例不僅考查學生從給定的圖象獲取資訊，而且還要利用圖象的資訊進行合理的推理和表達，要會運用語言、方法、知識去理解、刻畫現實實際中的變化規律，解決問題．
練習4：某生物興趣小組在四天的實驗研究中發現：駱駝的體溫會隨外部環境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪製成下圖（如圖8）．請根據圖象回答：
⑴第一天中，在什麼時間範圍內這頭駱駝的體溫是上公升的?它的體溫從最低上公升到最高需要多少時間?
⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?
答案：⑴第一天中，從4時到16時這頭駱駝
的體溫是上公升的它的體溫從最低上公升到最高
需要12小時．
⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是39℃．
變數與變數之間的關係
一 填空題 本大題共有8個小題，每小題3分，共24分 1 表示變數之間關係的常用方法有 2 已知變數s與t的關係式是，則當時 3 亮亮拿6元錢去郵局買面值為0.80元的郵票，買郵票所剩錢數y 元 與買郵票的枚數x 枚 的關係式為 最多可以買 枚 4 日落西山 是我們每天都要面對的自然變換，就你的理解...
2 3 1變數之間的相關關係
一 學習目標 1.通過具體示例引導學生考察變數之間的關係，在討論的過程中認識現實世界中存在著不能用函式模型描述的變數關係,從而體會研究變數之間的相關關係的重要性.2.通過收集現實問題中兩個有關聯變數的資料作出散點圖，並利用散點圖直觀認識變數間的相關關係.會作散點圖,並對變數間的正相關或負相關關係作出...
《變數之間的關係》綜合練習
第四章變數之間的關係 鞏固基礎訓練 題型發散 1 選擇題，把正確答案的代號填入題中的括號內 1 如圖6 6，一根蠟燭長20cm，點燃後每小時燃燒5cm，燃燒時剩下的高度h cm 與燃燒時間t h 的關係用圖象表示為 2 一段導線，在o 時的電阻為2 電阻單位 溫度每增加1 電阻增加0.008 那麼電...