中考複習專題——二次函式知識點總結
二次函式知識點：
1．二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。 這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
2. 二次函式的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式：的性質：
結論：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
總結：2.的性質：
結論：上加下減。
總結：3.的性質：
結論：左加右減。
總結：4.的性質：
總結：二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
三、二次函式與的比較
請將利用配方的形式配成頂點式。請將配成。
總結：從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．
四、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
五、二次函式的性質
1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
六、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
七、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
3. 常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
二、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4. 關於頂點對稱
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5. 關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
② 當時，圖象與軸只有乙個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點座標為，；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.
⑸ 與二次函式有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函式；下面以時為例，揭示二次函式、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯絡：
影象參考：
第二部分典型習題
１.拋物線y＝x2＋2x－2的頂點座標是 （ d ）
a.（2，－2） b.（1，－2） c.（1，－3） d.（－1，－3）
２.已知二次函式的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ c ）
ａ．ab＞0，c＞0 ｂ．ab＞0，c＜0 ｃ．ab＜0，c＞0 ｄ．ab＜0，c＜0
第２,３題圖第4題圖
３.二次函式的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ｄ ）
a．a＞0，b＜0，c＞0 b．a＜0，b＜0，c＞0
c．a＜0，b＞0，c＜0 d．a＜0，b＞0，c＞0
４.如圖，已知中，bc=8，bc上的高，d為bc上一點，，交ab於點e，交ac於點f（ef不過a、b），設e到bc的距離為，則的面積關於的函式的圖象大致為（ ｄ ）
５.拋物線與x軸分別交於a、b兩點，則ab的長為 4 ．
6.已知二次函式與x軸交點的橫座標為、（），則對於下列結論：①當x＝－2時，y＝1；②當時，y＞0；③方程有兩個不相等的實數根、；④，；⑤，其中所有正確的結論是 ①③④ （只需填寫序號）．
7.已知直線與x軸交於點a，與y軸交於點b；一拋物線的解析式為.
（1）若該拋物線過點b，且它的頂點p在直線上，試確定這條拋物線的解析式；
（2）過點b作直線bc⊥ab交x軸交於點c，若拋物線的對稱軸恰好過c點，試確定直線的解析式.
解：（1）或
將代入，得.頂點座標為，由題意得，解得.
（2）8.有乙個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為，且是x的二次函式，已知輸入值為,0,時, 相應的輸出值分別為5, ,．
（1）求此二次函式的解析式；
（2）在所給的座標系中畫出這個二次函式的圖象,並根據圖象寫出當輸出值為正數時輸入值的取值範圍.
解：（1）設所求二次函式的解析式為,
則,即,解得
故所求的解析式為:.
（2)函式圖象如圖所示.
由圖象可得，當輸出值為正數時，
輸入值的取值範圍是或．
9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發現：駱駝的體溫會隨外部環境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪製成下圖．請根據圖象回答：
⑴第一天中，在什麼時間範圍內這頭駱駝的體溫是上公升的?它的體溫從最低上公升到最高需要多少時間?
⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?
⑶興趣小組又在研究中發現，圖中10時到
22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解
析式．解：⑴第一天中，從4時到16時這頭駱駝的
2019中考二次函式
71 2011攀枝花 如圖，已知二次函式的圖象的對稱軸為直線x 1，且與x軸有兩個不同的交點，其中乙個交點座標為 1，0 1 求二次函式的關係式 2 在拋物線上有一點a，其橫座標為 2，直線l過點a並繞著點a旋轉，與拋物線的另乙個交點是點b，點b的橫座標滿足 2 當 aob的面積最大時，求出此時直線...
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面積類1 如圖，已知拋物線經過點a 1，0 b 3，0 c 0，3 三點 1 求拋物線的解析式 2 點m是線段bc上的點 不與b，c重合 過m作mn y軸交拋物線於n，若點m的橫座標為m，請用m的代數式表示mn的長 3 在 2 的條件下，連線nb nc，是否存在m，使 bnc的面積最大？若存在，求m...