◆知識講解
1．二次根式
式子（a≥0）叫做二次根式．
2．最簡二次根式
同時滿足：①被開方數的因數是整數，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數中含能開得盡方的因數或因式．這樣的二次根式叫做最簡二次根式．
3．同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式後，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式．
4．二次根式的性質
①（）2=a（a≥0a│=；
③=·（a≥0，b≥0）； ④（b≥0，a>0）．
5．分母有理化及有理化因式
把分母中的根號化去，叫做分母有理化；兩個含有二次根式的代數式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱這兩個代數式互為有理化因式．
6．二次根式的運算
（1）因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，那麼，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數是代數和的形式，那麼先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方後移到根號裡面．
（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合併同類二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數並將運算結果化為最簡二次根式．
（4）有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用於二次根式的運算．
◆例題解析
例1 填空題：
（1）下列各式，
其中是二次根式的是填序號）．
（2）若式子有意義，則x的取值範圍是_______．
（3）實數a，b，c，如圖所示，化簡－│a－b
【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)．
（2）由x－3≥0及－2≠0，得x≥3且x≠7．
（3）由圖可知，a<0，b>0，c<0，且│b│>│c│
∴=－a，－│a－b│=a－b，=b+c
∴－│a－b│+=c．
例2 選擇題：
（1）在下列各組根式中，是同類二次根式的是（ ）
a．和 b．和
c． （2）在根式1) ，最簡二次根式是（ ）
a．1) 2) b．3) 4) c．1) 3) d．1) 4)
（3）已知a>b>0，a+b=6，則的值為（ ）
a． b．2 c． d．
【解答】（1）∵=3，∴與不是同類二次根式，a錯．
=，∴與是同類二次根，∴b正確．
∵=│a│，
∴c錯，而顯然，d錯，∴選b．
（2）選c．
（3）∵a>b>0，∴（+）2=a+b+2=8，（－）2
=a+b－2=4
∴，故選a．
例3（2006，遼寧十一市）先化簡，再求值：
，其中a=，b=．
【解答】原式＝
當a=，b=時，原式＝．
◆強化訓練
一、填空題
1．（2007，福州）當x______時，二次根式在實數範圍內有意義．
2．已知03．已知最簡二次根式是同類二次根式，則a=______，b=_______．
4．（2008，長沙）已知a，b為兩個連續整數，且a<5．已知實數x，y滿足x2+y2－4x－2y+5=0，則的值為________．
6．（2006，內蒙古）已知a－b=2－1，ab=，則（a+1）（b－1
7．觀察下列分母有理化的計算：，從計算結果中找出規律，並利用這一規律計算：
+1二、選擇題
8．（2006，四川南充）已知a<0，那麼│－2a│可化簡為（ ）
a．－a b．ac．－3a d．3a
9．已知xy>0，化簡二次根式x的正確結果為（ ）
a．10．化簡，甲，乙兩位同學的解法如下
對於甲，乙兩位同學的解法，正確的判斷（ ）
a．甲，乙的解法都正確 b．甲正確，乙不正確
c．甲，乙都不正確 d．甲不正確，乙正確
11．若3+的小數部分是a，3－的小數部分為b，則a+b等於（ ）
a．0 b．1 c．－1 d．±1
12．如果表示a，b兩個實數的點在數軸上的位置如圖所示，那麼化簡│a－b│+ 的結果等於（ ）
a．－2b b．2b c．－2a d．2a
13．若a=3－，則代數式a2－6a－2的值為（ ）
a．0 b．－1 c．1 d．3
14．若ab≠0，則等式－成立的條件是（ ）
a．a>0，b>0 b．a>0，b<0 c．a<0，b>0 d．a<0，b<0
15．（2007，連雲港）已知m，n是兩個連續自然數（m a．總是奇數b．總是偶數
c．有時是奇數，有時是偶數 d．有時是有理數，有時是無理數
三、解答題
16．計算：（1）（2008，上海）計算：+（－）+。
（2）（2008，南通）計算：（3+。
17．（2008，廣州）如圖所示，實數a，b在數軸上的位置，化簡．
18．（2006，江蘇淮安）已知x=+1，求（）÷的值．
19．對於題目「化簡求值：+，其中a=」，甲、乙兩個學生的解答不同．
甲的解答是：+=+=+－a=
乙的解答是：+=+=+a－=a=
誰的解答是錯誤的？為什麼？
答案:1．x≥3 2．2x 3．0 2
4．5 5．3+2 6．－ 7．2005
8．c 9．d 10．a 11．b 12．a 13．b 14．b 15．a
16．（1）4 （2）2 17．－2b
18．原式==－
19．對於甲的解答，當a=時，－a=5－=4>0，=－a正確；
而乙的解答，當a=時，a－=－5=－4<0，≠a－，
因此乙的解答是錯誤的．
《二次根式》典例解析
16.1二次根式 例1 在下列各式中，m的取值範圍不是全體實數的是 a b c d 分析不論m為任何實數，a c d中被開方數的值都不是負數.解答 b 說明考查二次根式的意義.只要理解了二次根式的意義，記住在時，式子才有意義，這樣的題目都不在話下.例2 是二次根式，則x y應滿足的條件是 a 且b ...
3月1日二次根式的加減
3 二次根式的乘除法 a 0，b 0 b 0，a 0 2.最簡二次根式 必須同時滿足下列條件 被開方數中不含開方開的盡的因數或因式 被開方數中不含分母 分母中不含根式。1 中的最簡二次根式是 2 下列根式中，不是最簡二次根式的是 abcd 3 下列根式不是最簡二次根式的是 a.b.c.d.4 下列各...
3月4日二次根式的運算
考點1 二次根式的加減法 先把二次根式化成最簡二次根式再合併同類二次根式 例1 化簡 1 的結果是 2 的結果是 34 5 2 5 5 變式1 計算的結果是 a 6 b c 2 d 考點2 二次根式的乘除法 二次根式相乘 除 將被開方數相乘 除 所得的積 商 仍作積 商 的被開方數並將運算結果化為最...