江蘇省鹽城市龍岡中學紀堯兵 （224011）
所謂數表就是指滿足一定的生成規則並按一定的順序排列成的乙個表，數表問題常與數列知識聯手，在高考中奏出一曲曲優美的「樂章」，逐漸成為高考命題的熱門，本文試就數表問題考查的幾種常見型別及變化趨勢作一闡述，以饋讀者。
一、三角形數表
例1（2023年江蘇卷10）將全體正整數排成乙個三角形數表：
12 3
4 5 6
7 8 9 10
按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個數為
【評析】：通過列舉、分析、歸納、猜想，前n-1行共有1+2+3+…+ n-1個數，即共有個，因此第n行第3個數是全體正整數中第+3個數，即
例2（2023年山東卷19）
將數列｛an｝中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：
a1a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
記表中的第一列數a1，a2，a4，a7，…構成的數列為｛bn｝,b1=a1=1. sn為數列｛bn｝的前n項和，且滿足＝1（n≥2）.
（ⅰ）證明數列｛｝成等差數列，並求數列｛bn｝的通項公式；
（ⅱ）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同乙個正數.當時，求上表中第k(k≥3)行所有項和的和.
（ⅰ）證明略，
（ⅱ）析：本題關鍵在於確定在表中的位置，再由通項公式求出,然後求和，設上表中從第三行起，每行的公比都為q,且q＞0.
因為所以表中第1行至第12行共含有數列｛an｝的前78項，
故 a81表中第13行第三列，
因此 , 又所以 q=2.
記表中第k(k≥3)行所有項的和為s，
則（k≥3）.
點撥：研究數表問題，首先要明確數表的構成元素,數表是由什麼樣的數列或哪些元素構成，即先要尋找數列的遞推關係或元素的規律。
二、方形數表
例3（2023年北京春季高考題改編）下表給出乙個「等差數表」：
其中每行、每列都是等差數列，aij表示位於第i行第j列的數.
（1）寫出的值；
（2）寫出aij的計算公式；
（3）寫出2008這個數在等差數表中所在的乙個位置。
【評析】：本題主要考查等差數列的基礎知識，考查學生的邏輯思維能力，分析問題和解決問題的能力。
由每行和每列均成等差數列和**中前兩行兩列的4個數，可求出第一行和第二行所有的數，再由第5列的前兩個數求得第4個數，即。
解：（1）（略解）=49
（2）該等差數表的第1行是首項為4，公差為3的等差數列，a1j=4+3(j-1)，第二行是首項為7，公差為5的等差數列，a2j=7+5(j-1)，…
第i行是首項為4+3（i-1），公差為2i+1的等差數列，因此
aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1) =2ij+i+j=i(2j+1)+j
（3）要找2008在該等差數表中的位置，也就是要找正整數i,j使得2ij+i+j=2008，所以，當i=1時，得j=669
所以，2008在等差數表中的乙個位置是第1行第669列。
點撥：對於數表形等差、等比數列的綜合問題，行、列關係較為複雜，在解題時一定要多找等量關係，少設變數,盡可能把已知元素的值化歸到同行或者同列。
三、回形數表
例4 （2008江蘇高考零距離突破二輪複習題）
將自然數排成如下的螺旋狀
第乙個拐彎處的數是2，第二個拐彎處的數是3，第20個及第25個拐彎處的數分別是
【評析】：由圖可知，前n個拐彎處的數依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，…，①這是乙個數列題目，要求找出它的第20項和第25項各是多少，因此要找出這個數列的規則，經觀察，該數列的後一項減去一項，得一新數列1，2，2，3，3，4，4，5，5，……②，把數列①的第一項添在數列②的前面得2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，……③，觀察數列①，③發現原數列①的第n項就等於數列③的前n項和,即，，，…,故第20個拐彎處的數a20=2+1+2+2+…+10+10=1+2（1+2+…+10）=111
a25=2+1+2+2+…+12+12+13=170
解法2：設第i個拐彎處的數為ai，顯然a1=2，a2i=a2i-1+i, a2i+1= a2i+(i+1)
∵20=2×10 25=2×12+1∴a20=1+2(1+2+…+10)=11
a25=1+2(1+2+…+12)+13=170
解法1到解法2由具體到抽象，體現出思維不斷優化的過程。
點撥：解決數表問題，需細心研究其元素的排列的規律，即構成數列的元素，或數列的項是按照何種規則排列而成的，有時即使找到排列的規則，但如果不能對所發現的規律所蘊含的資訊進行整理再加工，解題同樣會誤入歧途。
四、數表與排列組合的有機結合
例5、（2023年上海春季高考）用n個不同的實數可得到n！個不同的排列，每個排列為一行，寫成乙個n！行的數表，對第行，記 （）
例如1，2，3可得數表如圖，由於此數表中每一列數之和均為12，所以。那麼在用1，2，3，4，5形成的數表中
【評析】：此題題目新穎有趣，思維要求較高，它給出計算數表中各數的某種組合的新思路，同時又具備高等數學的背景，滲透高等數學背景是高考命題的一大趨勢，值得引起重視。
解：在用1，2，3，4，5所形成的數表中，起始數字為1的共有a44行，類似，起始數字為2，3，4，5的行都有a44個，於是數表中各數之和為(1+2+3+4+5) a44=360.∴==
總之，適應新課程的需要，高考命題會出現一些新情況、新定義、新背景的問題，數表作為近年來數學命題的乙個新亮點，為在今後高考中再次出現增添了無限的魅力空間。
1．王太東、張亞萍 《關聯數列的數表問題》 數學教學 2005(9)
2．李俊 《2023年江蘇高考數學（理）零距離突破系統複習集》
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