一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1．已知集合 ， ，則
（a（b）
（c）（d）2．在復平面內，複數對應的點位於
（a）第一象限 （b）第二象限
（c）第三象限 （d）第四象限
3．已知圓的直角座標方程為 ．在以原點為極點， 軸非負半軸為極軸的極座標系中，該圓的方程為
（a）（b）（c）
（d）4．設函式則
（a）（b）（c）
（d）5．乙個幾何體的三檢視如圖所示，該幾何
體的表面積是
（a）（b）（c）（d）6．執行如圖所示的程式框圖，輸出的值為
（a）（b）（c）（d）7．在中，角的對邊分別為 ，則「 」是「 是等腰三角形」的
（a）充分不必要條件b）必要不充分條件
（c）充分必要條件d）既不充分也不必要條件
8．已知直線和直線 ，拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是
（a（b）
（c）（d）第ⅱ卷 （非選擇題共110分）
二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)
9．如圖，已知 ， ， ，
則圓的半徑oc的長為 ．
10．已知滿足約束條件則的最大值為 ．
11．若 ，則的最小值為 ．
12．在邊長為的等邊中， 為邊上一動點，則的取值範圍是 ．
13．奇函式的定義域為 ，若在上單調遞減，且
，則實數的取值範圍是 ．
14．對任意兩個實數 ，定義若 ，
，則的最小值為 ．
三、解答題（共6小題，共80分）解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15.（本小題滿分13分）
已知函式 ．
（ⅰ）求的最小正週期；
（ⅱ）求函式在的最大值和最小值．
16.（本小題滿分14分）
如圖，在三稜柱abc-a1b1c1中，cc1⊥底面abc，ac=bc=2， ，cc1=4，m是稜cc1上一點．
（ⅰ）求證：bc⊥am；
（ⅱ）若n是ab上一點，且 ，求證：
cn //平面ab1m；
（ⅲ）若 ，求二面角a-mb1-c的大小．
17．（本小題滿分13分）
某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產品，在自動包裝傳送帶上每隔一小時抽一包產品，稱其重量（單位：克）是否合格，分別記錄抽查資料，獲得重量資料莖葉圖（如右）.
（ⅰ）根據樣本資料，計算甲、乙兩個車間產品重量的均值與方差，並說明哪個車間的產品的重量相對穩定；
（ⅱ）若從乙車間6件樣品中隨機抽取兩件，求所抽取兩件樣品重量之差不超過2克的概率．
18.（本小題滿分14分）
已知橢圓的中心在原點 ，短半軸的端點到其右焦點的距離為 ，過焦點f作直線 ，交橢圓於兩點．
（ⅰ）求這個橢圓的標準方程；
（ⅱ）若橢圓上有一點 ，使四邊形恰好為平行四邊形，求直線的斜率．
19.（本小題滿分13分）
已知函式
（ⅰ）若函式在處有極值為10，求b的值；
（ⅱ）若對於任意的 ， 在上單調遞增，求b的最小值．
20.（本小題滿分13分）
現有一組互不相同且從小到大排列的資料 ，其中 ．
記 ， ，作函式 ，使其圖象為逐點依次連線點的折線．
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）設直線的斜率為 ，判斷的大小關係；
（ⅲ）證明：當時， ．
通州區2012 — 2013學年度第一學期期末試卷答案
高三數學（理科） 2013.1
第ⅰ卷（選擇題共40分）
一、 選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 c b a d b b a b
二、 填空題
91011．
12． 13． 14．
三、解答題
15．解：（ⅰ）由已知，得
2分4分
所以 ，
即的最小正週期為6分
（ⅱ）因為 ，所以7分
於是，當時，即時， 取得最大值 ；…… 10分
當時，即時， 取得最小值 ．……………13分
16．證明：
（ⅰ）因為三稜柱abc-a1b1c1中cc1⊥平面abc，
所以 cc1⊥bc1分
因為 ac=bc=2， ，
所以由勾股定理的逆定理知bc⊥ac2分
又因為ac∩cc1=c，
所以 bc⊥平面acc1a13分
因為 am 平面acc1a1，
所以 bc⊥am4分
過n作np∥bb1交ab1於p，鏈結mp ，則
np∥cc1，且5分
於是有 ．
由已知 ，有 ．
因為 bb1=cc1．
所以 np=cm．
所以四邊形mcnp是平行四邊形6分
所以 cn//mp7分
因為 cn 平面ab1m，mp 平面ab1m8分
所以 cn //平面ab1 m9分
（ⅲ）因為 bc⊥ac，且cc1⊥平面abc，http://w ww. .com
所以以c為原點，ca，cb，cc1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系c-xyz．…………………10分
因為 ，所以c(0,0,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,411分
設平面的法向量 ，則 ， ．
即令 ，則 ，即12分
又平面mb1c的乙個法向量是 ，
所以13分
由圖可知二面角a-mb1-c為銳角，
所以二面角a-mb1-c的大小為14分
17．解：（ⅰ）設甲、乙兩個車間產品重量的均值分別為 、 ，方差分別為則1分2分
4分6分由於 ，所以甲車間的產品的重量相對穩定；……………………7分
（ⅱ）從乙車間６件樣品中隨機抽取兩件，結果共有15個：
9分設所抽取兩件樣品重量之差不超過２克的事件為a，則事件a共有4個結果：
11分所以13分
18．解: （ⅰ）由已知，可設橢圓方程為1分
則2分所以3分
所以橢圓方程為4分
（ⅱ）若直線軸，則平行四邊形aobc中，點c與點o關於直線對稱，此時點c座標為 ．因為 ，所以點c在橢圓外，所以直線與軸不垂直6分
於是，設直線的方程為 ，點 ， ， …7分
則整理得， … 8分
9分所以10分
因為四邊形為平行四邊形，
所以11分
所以點的座標為12分
所以13分
解得 ，
所以14分
19．解1分
於是，根據題設有
解得或3分
當時， ， ，所以函式有極值點4分
當時， ，所以函式無極值點．……………5分
所以6分
（ⅱ）法一： 對任意 ， 都成立，………7分
所以對任意 ， 都成立…8分
因為 ,
所以在上為單調遞增函式或為常數函式， ………9分
所以對任意都成立 …10分
即11分
又 ，所以當時12分
所以 ，
所以的最小值為13分
法二： 對任意 ， 都成立， ……………7分
即對任意 ， 都成立，
即8分令9分
當時， ，於是10分
當時， ，於是， ．………11分
又 ，所以12分
綜上， 的最小值為13分
20．（ⅰ）解2分
4分（ⅱ）解6分
因為 ，
所以8分
（ⅲ）證：由於的圖象是連線各點的折線，要證明 ，只需證明9分
事實上，當時，
下面證明 ．
法一：對任何 ，
………………10分
11分12分
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