七年級數學暑假專題數學思想與方法
【本講教育資訊】
一. 教學內容：
暑假專題——數學思想與方法
二、教學重點：數學思想與方法的應用
三、知識點掃瞄：
轉化思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想、整體思想、數學建模思想
四、中考考點分析：
數量關係和空間圖形是數學研究的兩個主要方面，數學思想和方法的應用，歷來被命題者所關注。命題形式多樣，填空、選擇、綜合題均可。特別是綜合題中常把幾種數學思想和方法一起進行考查。
【典型例題】
數學思想和方法之一——轉化思想
例1、如圖，ab//cd，∠1=∠b，∠2=∠d，試說明be⊥de
解：過點e作ef//ab (以下解題過程同學們完成）
點評：本題是同學們初學幾何時感覺較複雜的題，通常是在過拐角處的點作輔助線，把乙個大角分為兩個小角，分別與兩個已知角建立聯絡，這種轉化在解題時經常用到
數學思想和方法之二——數形結合思想
例2、實數a、b在數軸上的位置如圖所示，則化簡代數式|a+b|的結果是（ ）
a、2a+b b、2a c、a d、b
例3、如圖，已知平面直角座標系內三點a（0，3）、b（2，4）、c（3，0），求四邊形abcd的面積。
數學思想方法之三——整體思想
例4、有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若購甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元．現計畫購甲、乙、丙各1件，共需多少元？
例5、如圖，在高2公尺，底寬4公尺，表面寬2公尺的樓梯表面鋪地毯，則地毯的表面積至少是平方公尺。
解析：這個問題中，圖形顯得較為複雜，實際上地毯的面積就是乙個矩形的面積
數學思想方法之四——分類討論思想
例7、若｜a｜＝3，｜b｜＝2，且a>b，則a＋b等於
a、5或－1 b、－5或1 c、5或1 d、－5或－1
解析：由絕對值的概念及已知條件a>b可分為兩種情況
例8、已知等腰三角形的一邊長為8cm，另一邊長為6cm，求此三角形的周長
數學思想方法之五——數學建模思想
例9、某種藥品包裝盒的側面展開圖（如圖所示），如果長方體盒子的長比寬多4cm，求這種藥品包裝盒的體積。
解析：本題的這個實際問題轉化為數學問題，就是建立「方程組」模型，通過列方程組先求出盒子的長、寬、高，然後再求體積
例10、某校準備組織290名學生進行野外考察活動，行李共有100件.學校計畫租用甲、乙兩種型號的汽車8輛，經了解，甲種汽車每輛最多能載40人和10件行李，乙種汽車每輛最多能載30人和20件行李.
（1）、設租用甲種汽車x輛，請你幫助學校設計所有可能的租車方案
（2）、如果甲、乙兩種汽車每輛的租車費用分別為2000元、1800元，請你選擇最省錢的一種租車方案
【模擬試題】（答題時間：45分鐘）
一、選擇題
1、如圖ab//cd，下列結論正確的是（ ）
a、∠1+∠2+∠3=180°
b、∠1+∠2+∠3=360°
c、∠1+∠3=2∠2
d、∠1+∠3=∠2
2、如圖，ab//de，∠b=140°，∠d=120°，則∠c的度數為（ ）
a、120° b、100° c、140° d、90°
3、若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對「共邊三角形」則如圖中以bc為公共邊的「共邊三角形」有（ ）
a、2對 b、3對 c、4對 d、5對
4、下列語句中，一定正確的是
a、22a一定大於21a b、不等式－4x＜0的解集為x>0
c、｜2a－2009｜>0 d、2008－a一定小於2009－a
5、如果關於x的不等式（a＋1）x>（a＋1）的解集是x＜1，那麼a的取值範圍是【 】
a、a>0 b、a＜0 c、a>－1 d、a＜－1
二、填空題
1、如圖，已知，則點的座標為____。
2、將點p（m＋2，2m＋4）向右平移1個單位到p′，且p′在y軸上，那麼p′的座標為
3、若點p（a，b）在第二象限，點q（c，d）在第三象限，則點（a＋c，bd）在第象限。
4、一副三角板如圖所示疊放在一起，則圖中
5、在如圖所示的四邊形中，若去掉乙個50°的角得到乙個五邊形，則∠1+∠2
三、解答題
1、如圖，∠c=∠bdc＝36°，∠a=∠abd，求∠ade的度數。
2、如圖，a、b、c在同一直線上，你能說明∠2>∠1的道理嗎？
3、2023年8月，北京奧運會帆船比賽將在青島國際帆船中心舉行，**帆船比賽的船票分為兩種，：a種船票600元／張，b種船票120元／張，某旅行社要為乙個旅行團**部分船票，在購票費不超過5000元的情況下，購買a、b兩種船票15張，要求a種船票的數量不少於b種船票的數量的一半，若設購買a種船票x張，請你解答下列問題
（1）共有幾種符合題意的購票方案，寫出解答過程
（2）根據計算判斷，哪種購票方案更省錢
【試題答案】
一、選擇題
1、d 2、b 3、b 4、b 5、d
二、填空題
1、（－502，502）〖第一象限的點的序號為4n－2，第二象限的點的序號為4n－1，第三象限的點的序號為4n，第四象限的點的序號為4n＋1，2007＝4×502－1所以點a2007在第二象限座標為（－502，502）
2、（0，－2） 3、三 4、75° 5、230°
三、解答題
1、解析：∵∠abd＝∠c＋∠bdc＝72°（△的乙個外角等於和它不相鄰的兩內角之和）
又∵∠a＝∠abd
∴∠a＝72°
又∵∠ade＝∠a＋∠c（△的乙個外角等於和它不相鄰的兩內角之和）
∴∠ade＝36°＋72°＝108°
2、解析：∵∠2>∠ad b（三角形的乙個外角大於和它不相鄰的乙個內角）
同理∠ad b >∠1
∴∠2>∠1
3、解析：（1）設購買a種船票x張，則購買b種船票張
依題意，得
解得，，x取整數∴x=5，6
共兩種購票方案
方案一：a種船票5張，b種船票10張
方案二：a種船票6張，b種船票9張
（2）方案一需要錢數為：600×5＋120×10=4200（元）
方案二需要錢數為：600×6＋120×9=4680（元）
所以第一種購票方案更省錢
解：（1）設租用甲種汽車x輛，則租用乙種汽車（8－x）輛
由題意，得
解得即共有兩種租車方案
第一種是租用甲種汽車5輛，乙種汽車3輛
第二種是租用甲種汽車6輛，乙種汽車2輛
解：（2）第一種租車方案費用＝5×2000＋3×1800＝15400（元）
第二種租車方案費用＝6×2000＋2×1800＝15600（元）
所以第一種租車方案較省費用
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