數學（理）試題
本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分。考試結束後，將本試卷和答題卡一交交回。滿分150分，考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、准考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚，並認真核准條形碼上的准考證號、姓名、考場號、座位號，在規定的位置貼好條形碼。
2．每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案標號，答在試卷上的答案無效。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．若複數是純虛數，其中是實數，則
abcd．
2．已知，則的值為
abcd．
3．公比不為1等比數列的前項和為，且成等差數列，若，則
abcd．4．如圖，若乙個空間幾何體的三檢視中，正檢視和側檢視都是直角三角形，其直角邊均為1，則該幾何體的表面積為
abcd．5．變數與相對應的一組樣本資料為，，，，由上述樣本資料得到與的線性回歸分析，表示解釋變數對於預報變數變化的貢獻率，則
abcd．
6．已知是實數，則函式的影象可能是
7．某班有24名男生和26名女生，資料是該班50名學生在一次數學學業水平模擬考試的成績，下面的程式用來同時統計全班成績的平均數：，男生平均分：，女生平均分：
；為了便於區別性別，輸入時，男生的成績用正數，女生的成績用其成績的相反數，那麼在圖里空白的判斷框和處理框中，應分別填入下列四個選項中的
a．，b．，c．，d．，8．若曲線與曲線在交點處有公切線，則
abcd．9．已知函式若，則實數的取值範圍是
a．或 b．
c．或d．
10．已知數列滿足，，，記，則下列結論正確的是
ab．cd．11．在平面直角座標系中，拋物線的焦點為，是拋物線上的點，若的外接圓與拋物線的準線相切，且該圓面積為，則
abcd．
12．設函式滿足，且當時，，又函式，則函式在上的零點個數為
abcd．
第ⅱ卷（非選擇題，共90分）
本卷包括必考題和選考題兩部分 ，第（13）題—第（21）題為必考題，每個試題考生都必須做答。第（22）題—第（24）題為選考題，考生根據要求做答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡上。
13．變數滿足條件，則的最大值為
14．已知是雙曲線的右焦點，若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為
15．已知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影是_______．
16．已知四點在半徑為的球面上，且，，，則三稜錐的體積是________．
三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）在中，角的對邊分別為，若．
（ⅰ）求證：、、成等差數列；
（ⅱ）若，求的面積．
18．（本小題滿分12分）氣象部門提供了某地區今年六月份（30天）的日最高氣溫的統計表如下：
由於工作疏忽，統計表被墨水汙染，和資料不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高於℃的頻率為．
某水果商根據多年的銷售經驗，六月份的日最高氣溫t（單位：℃）對西瓜的銷售影響如下表：
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若**率為概率，求六月份西瓜日銷售額的期望和方差；
（ⅲ）在日最高氣溫不高於℃時，求日銷售額不低於千元的概率．
19．（本小題滿分12分）如圖，在四稜錐中，為平行四邊形，且平面，，為的中點，．
（ⅰ）求證：∥平面；
（ⅱ）若，求二面角的余弦值．
20．（本小題滿分12分）已知平面內與兩定點，連線的斜率之積等於的點的軌跡為曲線，橢圓以座標原點為中心，焦點在軸上，離心率為．
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）若曲線與交於、、、四點，當四邊形面積最大時，求橢圓的方程及此四邊形的最大面積．
21．（本小題滿分12分）設且．
（ⅰ）討論函式的單調性；
（ⅱ）若，證明：時，成立．
請考生在第22，23，24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號，且在答題卡上填塗相應題號。
22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知與圓相切於點，直徑，連線交於點
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：．
23．（本小題滿分10分）選修4-4：座標系與引數方程
已知曲線的引數方程是（為引數，），直線的引數方程是（為引數），曲線與直線有乙個公共點在軸上，以座標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立座標系．
（ⅰ）求曲線普通方程；
（ⅱ）若點在曲線上，求的值．
24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函式（）．
（ⅰ）當時，已知，求的取值範圍；
（ⅱ）若的解集為或，求的值．
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