【本講教育資訊】
一、教學內容：
函式的影象
二、學習目標
1、熟練掌握基本函式的影象；
2、能正確地從函式的影象特徵去討論函式的主要性質；
3、能夠正確運用數形結合的思想方法解題，熟練掌握基本函式的影象並掌握影象的初等變換．
三、知識要點
（一）常見函式的影象：
①、一次函式y= kx+b （k≠0）： ②、二次函式y= ax2+bx+c （a≠0）： ③、反比例函式y=（k≠0）：
（二）作函式影象的基本方法有兩種：
1、描點法：
（1）先確定函式的定義域，討論函式的性質（奇偶性，單調性，週期性）
（2）列表（注意特殊點，如：零點，最大值最小值，與軸的交點）
（3）描點，連線
2、影象變換法：利用基本初等函式變換作圖
（1）平移變換：①水平平移：函式的影象可以把函式的影象沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到；
②豎直平移：函式的影象可以把函式的影象沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到。
（2）對稱變換：
①函式的影象可以將函式的影象關於軸對稱即可得到；
②函式的影象可以將函式的影象關於軸對稱即可得到；
③函式的影象可以將函式的影象關於原點對稱即可得到；
④函式的影象可以將函式的影象關於直線對稱即可得到．
（3）翻摺變換：①函式的影象可以將函式的影象的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，並保留的軸上方部分即可得到；
②函式的影象可以將函式的影象右邊沿軸翻摺到軸左邊替代原軸左邊部分並保留在軸右邊部分即可得到．
（4）伸縮變換：①函式的影象可以將函式的影象中的每一點橫座標不變縱座標伸長或壓縮（）為原來的倍即可得到；
②函式的影象可以將函式的影象中的每一點縱座標不變橫座標伸長或壓縮（）為原來的倍即可得到．
（三）有關結論：
1、若f（a+x）=f（a－x），x∈r恆成立，則y=f（x）關於x=a對稱
2、若f（a+x）=f（b－x），x∈r恆成立，則y=f（x）關於x=（a+b）/2對稱
3、若f（a+x）= －f（a－x），x∈r恆成立，則y=f（x）關於點（a，0）對稱
4、函式y=f（a+x）與y=f（b－x）的影象關於直線x=（b－a）/2對稱
5、若定義在r上的函式f（x） 關於x=a和x=b（b>a）對稱，則y=f（x）為週期函式，2b－2a為它的週期（未必是最小正週期）
6、函式y=f（x）關於y= －x對稱的函式為－x=f（－y）即y= － f －1（－x）
（四）關於週期：
1、f（x+a）=f（x） （a≠0）→t=a
2、f（x－a）=f（x+a） （a≠0）→t=2a
3、f（x－a）= －f（x） （a≠0）→t=2a
4、f（x－a）= －（a≠0）→t=2a
5、f（x）關於直線x=a對稱，且為偶函式→t=2a
【典型例題】
例1、說明由函式的影象經過怎樣的影象變換得到函式的影象．
解：方法一：
（1）將函式的影象向右平移3個單位，得到函式的影象；
（2）作出函式的影象關於軸對稱的影象，得到函式的影象；
（3）把函式的影象向上平移1個單位，得到函式的影象．
方法二：
（1）作出函式的影象關於軸的對稱影象，得到的影象；
（2）把函式的影象向左平移3個單位，得到的影象；
（3）把函式的影象向上平移1個單位，得到函式的影象．
例2、已知函式f（x）=ax3+bx2+cx+d的影象如圖，求b的範圍
解法一：觀察f（x）的影象，可知函式f（x）的影象過原點，即f（0）=0，得d=0，
又f（x）的影象過（1，0），
∴f（x）=a+b+c=0 ①
又有f（－1）＜0，
即－a+b－c＜0 ②
由①，② 得b＜0，
故b的範圍是（－∞，0）
解法二：如圖f（0）=0有三根0，1，2，
∴f（x）=ax3+bx2+cx+d
=ax（x－1）（x－2）
=ax3－3ax2+2ax，
∴b=－3a，
∵當x>2時，f（x）>0，
從而有a>0，∴b＜0
例3、研究函式的影象與性質
解：（1）配方
所以函式的影象可以看作是由經一系列變換得到的，具體地說：先將上每一點的橫座標變為原來的2倍，再將所得的影象向左移動4個單位，向下移動2個單位得到.
（2）函式與x軸的交點是（－6，0）和（－2，0），與y軸的交點是（0，6）
（3）函式的對稱軸是x=－4，事實上如果乙個函式滿足：（），那麼函式關於對稱.
（4）單調性：函式在上是減函式
函式在上是增函式
例4、方程的實根共有幾個？
解：將方程看成函式與函式的影象相交，
∵兩個曲線有乙個交點∴方程有乙個解
［評析］交點個數問題，可利用數形結合求得。交點的橫座標即方程的解
本講涉及的主要數學思想方法
1、對於函式影象的變換，要注意數形結合思想的靈活應用，更好地將代數的方法與幾何的方法相結合。
2、已知函式的影象，運用平移、伸縮、對稱變換作相關函式的影象，關鍵是分析兩函式解析式的結構特徵，尋找x之間、y之間的變化關係；等價化簡解析式時，容易忽略定義域和值域。
3、在畫函式的影象時要注意分類討論思想的應用。
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
一、選擇題
1、設函式y=f（x）的定義域為ｒ，則函式y=f（x－1）與y=（1－x）的影象的關係為關於（ ）
ａ. 直線y=0對稱直線x=0對稱
ｃ. 直線y=1對稱直線x=1對稱
2、當a≠0時，y=ax+b和y=bax的影象只可能是（ ）
*3、已知函式的定義域為，其影象如圖所示，則不等式的解集是（ ）
abcd.
4、影象經過平移後不能同時經過兩點a（1，0）、b（－1，2）的乙個函式為 （ ）
a. y=2xb. c. d. y=x2
5、已知函式，則使得f（x）≥1的自變數x的取值範圍為（ ）
a. （－∞，－2 [0，10b. （－∞，－2）[0，1]
c. （－∞，－2）[1，10d. [－2，0] [1，10]
**6、設函式y=f （x）滿足f （x+1）=f （x）+1，則方程f （x）=x的根的個數是 （ ）
a. 無窮個b. 沒有或者有限個
c. 有限個d. 沒有或者無窮個
二、填空題
*7、當a>1時，已知x1，x2分別是方程x+ax= －1 和x+logax= －1的解，則x1+x2的值為_____
**8、如下圖所示，向高為的水瓶同時以等速注水，注滿為止；
（1）若水深與注水時間的函式影象是下圖中的，則水瓶的形狀是 ；
（2）若水量與水深的函式影象是下圖中的，則水瓶的形狀是 ；
（3）若水深與注水時間的函式影象是下圖中的，則水瓶的形狀是 ；
（4）若注水時間與水深的函式影象是下圖中的，則水瓶的形狀是 ．
9、已知函式f（x）=log2（x+1），將y=f（x）的影象向左平移1個單位，再將影象上所有點的縱座標伸長為原來的2倍（橫座標不變），得到函式y=g（x）的影象，則函式f（x）=f（x）－g（x）的最大值為_________
三、解答題
10、作出函式的影象，並說明其與函式y=log2x的影象的關係。
*11、對函式y=f（x）定義域中任乙個x的值均有f（x+a）=f（a－x），
（1）求證y=f（x）的影象關於直線x=a對稱；
（2）若函式f（x）對一切實數x都有f（x+2）=f（2－x），且方程f（x）=0恰好有四個不同實根，求這些實根之和
**12、設曲線的方程是，將沿軸、軸正方向分別平移、個單位長度後得到曲線，
（1）寫出曲線的方程；
（2）證明曲線與關於點對稱；
（3）如果曲線與有且僅有乙個公共點，證明：．
試題答案
1、d2、a
3、由，排除a、d；由，排除b，選c．
4、a5、a
6、d7、解： x+ax= －1得ax= －1－x
x+logax= －1得logax= －1－x
利用y=logax與y= ax互為反函式，又分別與y=－x－1相交
y=－x－1與y=x 垂直
∴x1+x2=－1
8、c，a，d，b
9、解析：g（x）=2log2（x+2）（x>－2）
f（x）=f（x）－g（x）=log2（x+1）－2log2（x+2）
=log2
∵x+1>0，∴f（x）≤=－2
當且僅當x+1=，即x=0時取等號
∴f（x）max=f（0）=－2
答案：－2
10、解： 或或
11、（1）證明：設（x0，y0）是函式y=f（x）影象上任一點，則y0=f（x0），
∵=a， ∴點（x0，y0）與（2a－x0，y0）關於直線x=a對稱，
又f（a+x）=f（a－x），
∴f（2a－x0）=f［a+（a－x0）］=f［a－（a－x0）］=f（x0）=y0，
∴（2a－x0，y0）也在函式的影象上，
故y=f（x）的影象關於直線x=a對稱
（2）解：由f（2+x）=f（2－x）得y=f（x）的影象關於直線x=2對稱，
若x0是f（x）=0的根，則4－x0也是f（x）=0的根，
若x1是f（x）=0的根，則4－x1也是f（x）=0的根，
∴x0+（4－x0）+ x1+（4－x1）=8
即f（x）=0的實根之和為8
12、解：（1）曲線的方程為；
（2）證明：在曲線上任意取一點，設是關於點的對稱點，
則有，∴代入曲線的方程，
得的方程：
即，可知點在曲線上．
反過來，同樣證明，在曲線上的點的對稱點在曲線上．
因此，曲線與關於點對稱．
（3）證明：因為曲線與有且僅有乙個公共點，
∴方程組有且僅有一組解，
消去，整理得，這個關於的一元二次方程有且僅有乙個根，
∴，即得，
因為，所以．
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高一人教版函式學案
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