一幅圖案．在某個頂點處由三個邊長相等的正多邊形鑲嵌而成．其中的兩個分別是正方形和正六邊形，則第三個正多邊形的邊數是
全等三角形中的常見輔助線的新增方法舉例
一． 有角平分線時，通常在角的兩邊擷取相等的線段，構造全等三角形。
例：如圖1：已知ad為△abc的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：be＋cf＞ef。
二、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。
例：：如圖2：ad為△abc的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：be＋cf＞ef
三、有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。
例：如圖3：ad為 △abc的中線，求證：ab＋ac＞2ad。
練習：已知△abc，ad是bc邊上的中線，分別以ab邊、ac邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4， 求證ef＝2ad
四、截長補短法作輔助線。
例如：已知如圖5：在△abc中，ab＞ac，∠1＝∠2，p為ad上任一點。
求證：ab－ac＞pb－pc。
五、延長已知邊構造三角形：
例如：如圖6：已知ac＝bd，ad⊥ac於a ，bc⊥bd於b，
求證：ad＝bc
六、連線四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。
例如：如圖7：ab∥cd，ad∥bc 求證：ab=cd。
七有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。
例如：如圖8：在rt△abc中，ab＝ac，∠bac＝90°，∠1＝∠2，ce⊥bd的延長於e 。求證：bd＝2ce
八、連線已知點，構造全等三角形。
例如：已知：如圖9；ac、bd相交於o點，且ab＝dc，ac＝bd，求證：∠a＝∠d。
九、取線段中點構造全等三有形。
例如：如圖10：ab＝dc，∠a＝∠d 求證：∠abc＝∠dcb。
常見輔助線的作法有以下幾種：
（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用「三線合一」的性質解題，思維模式是全等變換中的「對折」。
例1：如圖，δabc是等腰直角三角形，∠bac=90°，bd平分∠abc交ac於點d，ce垂直於bd，交bd的延長線於點e。求證：bd=2ce。
（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「旋轉」。
例2：如圖，已知δabc中，ad是∠bac的平分線，ad又是bc邊上的中線。求證：δabc是等腰三角形。
（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的「對折」，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。
例3：已知，如圖，ac平分∠bad，cd=cb，ab>ad。求證：∠b+∠adc=180°。
（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的「平移」或「翻轉摺疊」
例4：如圖，δabc中，ab=ac，e是ab上一點，f是ac延長線上一點，連ef交bc於d，若eb=cf。
求證：de=df。
例5：△abc中，∠bac=60°，∠c=40°，ap平分∠bac交bc於p，bq平分∠abc交ac於q，求證：ab+bp=bq+aq。
解題後的思考：
（1）本題也可以在ab上擷取ad=aq，連od，構造全等三角形，即「截長法」。
（2）本題利用「平行法」的解法也較多，舉例如下：
①如圖（2），過o作od∥bc交ac於d，則△ado≌△abo從而得以解決。
④如圖（5），過p作pd∥bq交ac於d，則△abp≌△adp從而得以解決。
（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上擷取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合於證明線段的和、差、倍、分等類的題目。
例6：如圖甲，ad∥bc，點e**段ab上，∠ade=∠cde，∠dce=∠ecb。
求證：cd=ad+bc。
小結：三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以後關係現。
角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。
線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連線則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
2．通過新增輔助線構造全等三角形轉移線段到乙個三角形中證明線段相等。
2．如圖所示，ad是△abc的中線，be交ac於e，交ad於f，且ae=ef。
求證：ac=bf。
如圖所示，ad是△abc的中線，be交ac於e，交ad於f，且ac=bf。
求證：ae=ef。
(1)已知：如圖，ab=ac，e為ab上一點，f是ac延長線上一點，且be=cf，ef交bc於點d．求證：de=df．
全等三角形綜合題一
1、在△aed中，∠aed=90°，ea=ed，ab⊥bc，dc⊥bc，且bc過點e，求證：bc=ab+dc.
2、在△abc中，∠acb=90°，ca=cb，點p是ab邊上的一點，bd⊥cp於d，
ae⊥cp，交其延長線於e，求證：de=bd-ae
3、在△abc中，ab=2ac，ad平分∠bac，ad=bd，求證：cd⊥ac
4、在△abc中，ab>ac，∠bac的平分線與bc的中垂線交於點d，過點d作de⊥ab於e，df⊥ac，交其延長線於f，(1)求證：be=cf (2)求證：ab+ac=2af
5、如圖，△abc的邊bc的中垂線ed交△bac的外角平分線ae於e，ef⊥ab交其延長線於e,ge⊥ac於g且ab(1)求證：cg=bf (2)ca-ba=2ag
6、如圖，△abc中，d是bc的中點，∠edf＝90°，求證：be+cf＞ef．
7、如圖，已知在△abc中，∠bac為直角，ab=ac，d為ac上一點，ce⊥bd於e．
（1）若bd平分∠abc，求證ce=bd；
（2）若d為ac上一動點，∠aed如何變化，若變化，求它的變化範圍；若不變，求出它的度數，並說明理由。
8、如圖，在△abc中，∠abc=450，cd⊥ab於d，be平分∠abc，且be⊥ab於e,與cd相交於點f，h是bc邊的中點，鏈結dh與be相交於點g。
(1)求證：bf=ac （2）求證:ce=bf
(3)ce與bg的大小關係如何？試證明你的結論。
9、如圖，在∠aob的兩邊oa,ob上分別取om=on，od=oe，dn和em相交於點c．
求證：點c在∠aob的平分線上．
10、如圖，等腰直角三角形abc中，∠acb＝90°，ad為腰cb上的中線，ce⊥ad交ab於e．求證∠cda＝∠edb．
11、 已知：如圖e在△abc的邊ac上，且∠aeb=∠abc。
(1) 求證：∠abe=∠c；
(2) 若∠bae的平分線af交be於f，fd∥bc交ac於d，設ab=5，ac=8，求dc的長。
12、在△abc中，,ab=ac， 在ab邊上取點d，在ac延長線上了取點e ，使ce=bd ， 連線de交bc於點f，求證df=ef。
13、如圖所示,△abc中,∠acb=90°,ac=bc,ae是bc邊上的中線,過c作cf⊥ae, 垂足為f,過b作bd⊥bc交cf的延長線於d.
求證:(1)ae=cd；(2)若ac=12cm,求bd的長.
14、如圖所示：ab∥cd ，ad∥bc ，e、f分別在分別在ab、cd上，df=be，ac與ef相交於點m ，求證：ac、ef互相平分。
15、在rt△abc中，ab=ac，∠bac=90°，o為bc的中點.
(1)寫出點o 到△abc的三個頂點a、b、c的距離的大小關係，並說明理由.
(2)若點m、n分別是ab、ac上的點，且bm=an，試判斷△omn形狀，並證明你的結論.
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輔助線的新增技巧 人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鑽研，找出規律憑經驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以後關係現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可...