平方根、立方根、實數
1、關於無理數——無限不迴圈小數叫做無理數。
注意：（1）整數和分數統稱為有理數，任意有理數總可化為有限小數或無限迴圈小數。
（2）無理數中較多的是含根號的數，但含根號的數並不都是無理數，例如。
（3）開方開不盡的數是無理數，但無理數並非都是開方開不盡的數，例如 π。
2、關於算術平方根：如果乙個正數x的平方等於a，即x2＝a，那麼正數x叫做a的算術平方根。
注意：（1）0的算術平方根為0。
（2）數a的算術平方根記作，其中a≥0。
（3）只有當a≥0時，數a才有算術平方根。
3、關於平方根：如果乙個數的平方等於a , 即x2=a，那麼這個數x就叫做a的平方根。
注意：（1）乙個正數有兩個平方根，且它們互為相反數，記為±；
0有乙個平方根，就是它本身；負數沒有平方根。
（2）平方根與算術平方根的區別與聯絡：乙個正數的平方根有兩個，而算術平方根只有乙個；乙個正數的算術平方根是乙個正數，而它的平方根是一正一負
4、關於開平方：求乙個數的平方根的運算叫做開平方。其中叫做被開方數。
注意：（1）開平方運算與平方運算互為逆運算。
（2）乙個正數開平方運算的結果有兩個。
（3）負數不能進行開平方運算。
5、關於、、：表示非負數的算術平方根，其結果也是非負數；
（1）若，則=；
（2）總有意義，當時， =；當時， =，即=.
6、關於立方根概念：若乙個數x的立方等於a，即x3=a，則這個數x就叫做a的立方根（或三次方根）。記作：x=
注意：（1）求數a的平方根的運算叫做開平方，類似地，求數a的立方根的運算叫做開立方。
（2）開立方與立方運算互為逆運算。
7、關於立方根的性質：正數有乙個立方根，是正數；0有乙個立方根，是0；負數有乙個立方根，是負數。
注意：要分清立方根與平方根的區別。事實上，除定義不同、表示法不同外還有個數不同、被開方數取值範圍也不同——任何數都有乙個立方根，而只有非負數才有平方根（其中正數的平方根有兩個），負數沒有平方根。
8、關於：無論a 取何值，總有=
注意：這與平方根的性質不同，只有時，才有=。
9、關於實數概念：有理數和無理數統稱為實數。
10、關於實數分類：實數的分類常按下列兩種方式
按定義分：
按正負分：
11、關於實數和數軸：每乙個實數都可以用數軸上的乙個點來表示；反過來，數軸上的每乙個點表示乙個實數。即實數和數軸上的點是一一對應的。
12、關於實數的相反數、倒數、絕對值的意義：
與在有理數範圍內的相反數、倒數、絕對值的意義完全相同。
即若為實數，則的相反數為；的絕對值為；當時，的倒數為。
13、關於實數大小的比較：與有理數大小比較的方法完全相同。特別地，在數軸上右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大。
方法：①估算法取近似值②平方法 ③作差法
勾股定理及其逆定理
1. 勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，即c=a+b (c為斜邊)
2. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三邊長a,b,c(c為最大邊)有下面關係：a+b=c,那麼這個三角形是直角三角形。
3. 勾股定理揭示了直角三角形的三邊關係，其作用為：
（1） 已知直角三角形的兩邊求第三邊；
（2） 已知直角三角形的一邊，求另兩邊關係；
（3） 用於證明線段平方關係的問題；
（4） 利用勾股定理，作出長為的線段
4. 勾股定理的逆定理的作用：
判定某一三角形是否是直角三角形
勾股定理和勾股定理的逆定理區別與聯絡：
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理。
聯絡：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
應注意的是：
勾股定理的逆定理不能敘述為：當斜邊的平方等於兩直角邊平方的和時，這個三角形為直角三角形。這樣敘述就把待判定的三角形當作了直角三角形。
勾股定理的逆定理是把數轉化為形，並通過計算判定乙個三角形是否為直角三角形。
5. 直角三角形斜邊中線等於斜邊一半。
6. 直角三角形30°所對直角邊等於斜邊的一半。
梯形1．梯形的定義：只有一組對邊平行的四邊形叫梯形
2．梯形的元素：平行的兩邊叫梯形的底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，兩底之間的距離叫做梯形的高。
3．梯形的分類：梯形可分為：一般梯形、直角梯形、等腰梯形
其中一腰與底邊垂直的梯形叫直角梯形
兩腰相等的梯形叫等腰梯形
4．等腰梯形的性質：（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行
2）等腰梯形同一底上的兩上角相等
（3）等腰梯形的對角線相等
（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是過兩底中點的直線。
5．等腰梯形的判定方法：（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形
（2）同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
注意：要說明乙個四邊形是等腰梯形，先要說明它是梯形，再證兩腰相等，或同一底上兩底角相等。
6．梯形的面積計算：s=（上底+下底）×高
7．四邊形與特殊四邊形間的從屬關係
8. 梯形中常作的輔助線
如圖（1），平移一腰，將梯形分成乙個平行四邊形和乙個三角形；
如圖（2），從上底兩頂點向下底作高，將梯形分成乙個矩形和兩個直角三角形。（如果是等腰梯形，所得的兩個直角三角形全等。）
如圖（3），延長梯形的兩腰交於一點，得到兩個三角形。
如圖（4），平移梯形的一條對角線，可得到平行四邊形和由兩腰構成的三角形，同時還得到了上下底的和。
如圖（5），鏈結梯形的頂點和一腰的中點並延長，可得到一對全等三角形，並將梯形轉化為乙個大三角形，同時也得到了梯形上下底的和。
說明：梯形的輔助線作法較多，使用頻繁。但要抓住使用這些輔助線的意圖：將梯形轉化為我們非常熟悉的三角形和平行四邊形來解題，體現了一種「割補法」的思想。
三角形、梯形中位線
1、三角形中位線
鏈結三角形兩邊中點的線段，叫做三角形的中位線。乙個三角形有3條中位線。
2、三角形中位線定理
三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半。
在△abc中 ∵ad＝db，af＝fc
∴df∥bc，df＝bc
3、經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。
在△abc中，∵ad＝db，df∥bc
∴af＝fc
4、梯形中位線定義
鏈結梯形兩腰中點的線段，叫做梯形的中位線。梯形只有1條中位線。
5、梯形中位線定理
梯形的中位線平行於上下底，並且等於兩底和的一半。
在梯形abcd中，ad∥bc
ae＝be，df＝cf
∴ef∥ad∥bc，ef＝（ad＋bc）
6.經過梯形一腰中點與底平行的直線必平分另一腰。
在梯形abcd中，ae＝be，ef∥ad∥bc，
∴df＝cf
可以簡記為：
7. s梯= 其中表示梯形的中位線長，h表示梯形的高。
中位線是乙個很重要的概念，同時又是幾何主題中常作輔助線。
無論是三角形還是梯形的中位線定理，結論都包含了兩部分。——位置關係和數量關係。
位置上：中位線平行於第三邊或兩底；數量上：中位線等於第三邊的一半或等於兩底和的一半。
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