習題八1．填空題
（1）已知曲線上任一點（x,y）處的切線斜率為，且此曲線過點（0,2），則此曲線方程為
答案：（2）方程通過點（1,4）的特解為
答案：（3）一階線性方程的通解為
答案：（4）求解方程時，可作變換
答案：（5）求解方程時，可作變換
答案：（6）方程的通解為
答案：（7）方程的通解為
答案：（8）方程滿足的特解為
答案：（9）方程的特解形式為
答案：（10）方程的特解形式為
答案：2．選擇題
（1）微分方程是（ ）方程。
a. 一階線性非齊次b. 可分離變數
c. 齊次d. 二階微分
答案：a
（2）微分方程xdy–ydx=0是（ ）方程。
a. 一階線性b. 可分離變數
c. 齊次d. 常係數線性
答案：a,b,c
（3）微分方程是（ ）方程。
a. 可分離變數b. 一階線性非齊次
c. 一階常係數線性d. 二階
答案：a,b,c
（4）下列方程中是可分離變數方程的有（ ）。
ab.cd.
答案：a,c,d
（5）下列方程中為二階微分方程的是（ ）。
a. b.
cd.答案：b,c
（6）微分方程是（ ）方程。
a. 線性b. 常係數
c. 二階d. 非齊次
答案：a,b,c,d
（7）微分方程的通解為（ ）。
ab.cd.
答案：c
（8）微分方程的通解為（ ）。
ab.c. d.
答案：a
（9）微分方程的通解為（ ）。
ab.cd.
答案：a
（10）微分方程的解為（ ）。
ab.cd.
答案：b,d
（11）微分方程的通解為（ ）。
ab.cd.
答案：a
（12）方程的特解的形式為（ ）
a. b.
cd.答案：d
（13）方程的特解的形式為（ ）。
ab.cd.
答案：c
（14）微分方程的解有
a. b.
c. d.
答案：a,c,d
（15）微分方程的解有
ab.cd.
答案：a,b,c,d
（16）微分方程的通解是（ ）。
ab.c. d.
答案：d
3．給定一階微分方程。
（1）求它的通解；
（2）求過點（2,5）的特解；
（3）求出與直線相切的曲線方程。
解（1）兩邊取不定積分，得 ；
（2）把代入，得，所以過點的特解為；
（3）由題意，得解之得，所以，則。
4．物體在空氣中的冷卻速度與物體和介質的溫度差成正比。如果物體在20min內由100℃冷至60℃，那麼在多長時間內這個物體的溫度達到30℃（假設空氣溫度為20℃）？
解由題意得
兩邊積分，得，又
解之得所以，當時，,1小時內這個物體的溫度是30℃。
5．求下列各微分方程的通解
（12）
（34）
（5） （6）
（78）
（910）
解（1）分離變數，得，
兩邊積分，得 ；
（2）分離變數，得，
兩邊積分，得；
（3）分離變數，得，即，
兩邊積分，得；
（4）分離變數，得，
兩邊積分，得，即；
（5）分離變數，得，
兩邊積分，得，即 ；
（6）分離變數，得，
兩邊積分，得，
即，令，則有；
（7）分子分母同除以，得，
令，得，則有，代入方程，得，
化簡得，
兩邊積分，得，
即將代入上式，
得 ；
（8）分離變數得，即，，
兩邊積分得，即；
（9）令，得，則有，代入方程，得，
分離變數得， 兩邊積分得，即
將代入上式，得,;
（10）分子分母同除以，得，
令，得，則有，代入方程，得，
化簡得，
兩邊積分，得，
即將代入上式，得。
6．求下列微分方程滿足初始條件的特解
（1）（2）
（3）（4）
解（1）分離變數得，
兩邊積分得， 將初始條件代入通解中，得，
故所求特解為 ；
（2）分離變數得，
兩邊積分得， 將初始條件代入通解中，得，
故所求特解為 ；
（3）分離變數得，
兩邊積分得， 將初始條件代入通解中，得，
故所求特解為 ；
（4）分離變數得，
兩邊積分得， 將初始條件代入通解中，
得，故所求特解為。
7．求下列方程的通解
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
解（1）因為，代入一階線性非齊次方程的通解公式，有；
（2）因為，代入一階線性非齊次方程的通解公式，
有= ；
（3）因為，代入一階線性非齊次方程的通解公式，
有= =；
（4）將原方程變形為，
其中，代入通解公式，得原方程的通解為
=；（5）因為，代入一階線性非齊次方程的通解公式，
有；（6）將原方程變形為，其中，
代入通解公式，得原方程的通解為
==，即。
8．求下列初值問題的解
（1）（2）
（3）（4）
解（1）因為，代入通解公式，
得原方程的通解為=，
將初始條件代入通解中得c=，故所求特解為 ；
（2）因為，代入通解公式，得原方程的通解為
=，將初始條件代入通解中得c=3，故所求特解為；
（3）將原方程變形為因為，代入通解公式，得原方程的通解為
=，將初始條件代入通解中得c=0，故所求特解為 ；
（4）將原方程變形為因為，代入通解公式，得原方程的通解為=，
將初始條件代入通解中得c=故所求特解為。
9．在某池塘內養魚，該比。已知在池塘內放養魚100尾，3個月後池塘內有魚250尾，求放養t月後魚數y(t)的公式。
答案：10．質量1g的質點受外力作用作直線運動，外力的大小與時間成正比，與質點運動的速度成反比。在t =10s時，速度等於50cm/s，外力為4×10–5n。
問從運動開始經過了一分鐘的速度是多少？
答案：11．鐳的衰變有如下規律：衰變速度與鐳的現存量成正比，由經驗材料得知，鐳經過2023年後，只餘原始量r0的一半。試求鐳在任意時刻t的含量r(t)與時間t的函式關係。
答案：（t的單位：年）
12．一質量為m的物體沿傾角為α的斜面由靜止開始下滑，摩擦力為kv + lp，其中p為物體對斜面的正壓力，v為運動速度，k、l為正常數。試求物體下滑速度的變化規律。
答案：13．跳傘員與降落傘共重150kg，當傘張開時，他以10m/s速度垂直下落。設空氣阻力與速度成正比，且當速度為5m/s時，空氣阻力為60kg。
試求跳傘員的下落速度與時間的關係及其極限速度（即當時間t→+∞時速度的極限）。
答案：；
14．若曲線和以[0, x]為底圍成的曲邊梯形的面積與縱座標y的n+1次冪成正比，已知，求此曲線的方程。
答案：15．求下列微分方程的通解或滿足初始條件的特解。
（12）
（3） （4）
（5）（6）
解（1）積分一次得，
繼續積分得，
所以方程的通解為；
（2）令，
代入原方程得，分離變數得，
兩邊積分得，即
積分得；
（3）令，
代入原方程得，分離變數得，
兩邊積分得，即，
積分得；
（4）令，
代入原方程得，分離變數得，
兩邊積分得，即，
積分得通解；
（5）令，代入原方程得，
分離變數得，兩邊積分得，
即，將初始條件代入，得，所以，即，積分得，再由初始條件得，代入上式整理得，即為初值問題的解；
（6）16．快艇以勻速v0=5公尺/秒在靜水上前進，當停止發動機後5秒鐘速度減至3公尺/秒，已知阻力與運動速度成正比。試求船速隨時間的變化規律。
答案：，其中
17．已知某車間容積為30×30×12m3，空氣中含有12%的co2（以容積計算）。現以co2含量為0.04%的新鮮空氣輸入，並以相同的速度排除混合氣體。
問每分鐘應輸入多少新鮮空氣，才能使車間中的空氣在10分鐘後co2的含量不超過0.06%（假定輸入的空氣與空氣能很快混合均勻）。
答案：*18．方程稱為伯努利（bernoulli）方程（其中均為的函式）。當或1時，這時方程是線性的；當時，這時方程雖然不是線性的，但利用變換可化為線性方程。
求得該線性方程的通解後，再用代替，便得到伯努利方程的通解。
試求方程的通解
答案：19．求下列方程的通解。
（12）
（34）
（56）
解（1）特徵方程為，
特徵根為，所以微分方程的通解為；
（2）特徵方程為，
特徵根為，所以微分方程的通解為；
（3）特徵方程為，
特徵根為，
所以微分方程的通解為；
（4）特徵方程為，
特徵根為，所以微分方程的通解為；
（5）特徵方程為，
特徵根為，所以微分方程的通解為；
（6）特徵方程為，
特徵根為
分析化學課後習題詳解
第二章誤差及分析資料的統計處理 思考題答案 1 正確理解準確度和精密度，誤差和偏差的概念。答 準確度表示測定結果和真實值的接近程度，用誤差表示。精密度表示測定值之間相互接近的程度，用偏差表示。誤差表示測定結果與真實值之間的差值。偏差表示測定結果與平均值之間的差值，用來衡量分析結果的精密度，精密度是保...
線性代數課後習題答案第1 5章習題詳解
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1 3二項式定理 課後習題詳解
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