摘要在時間價值及內部報酬率計算時常用到插入法，但初學者對該方法並不是很容易理解和掌握。本文根據不同情況分門別類。利用相似三角形原理推導出插入法計算用公式。
並將其歸納為兩類：加法公式和減法公式，簡單易懂、理解準確、便於記憶、推導快捷。
時間價值原理正確地揭示了不同時點上資金之間的換算。是財務決策的基本依據。為此，財務人員必須了解時間價值的概念和計算方法。
但在教學過程中。筆者發現大多數教材插值法(也叫插入法)是用下述方法來進行的。如高等教育出版社2023年出版的《財務管理學》p62對貼現期的。
事實上，這樣計算的結果是錯誤的。最直觀的判斷是：係數與期數成正向關係。
而4.000更接近於3.791。
那麼最後的期數n應該更接近於5，而不是6。正確結果是：n=6-0.
6=5.4(年)。由此可見，這種插入法比較麻煩，不小心時還容易出現上述錯誤。
筆者在教學實踐中用公式法來進行插值法演算，效果很好，現分以下幾種情況介紹其原理。
一、已知係數f和計息期n。求利息率i
這裡的係數f不外乎是現值係數(如：複利現值係數pvif年金現值係數pvifa)和終值係數(如：複利終值係數fvif、年金終值係數fvifa)。
(一)已知的是現值係數
那麼係數與利息率(也即貼現率)之間是反向關係：貼現率越大係數反而越小，可用圖1表示。
圖1中。f表示根據題意計算出來的年金現值係數(複利現值係數的圖示略有不同，在於i可以等於0，此時縱軸上的係數f等於1)，f為在相應係數表中查到的略大於f的那個係數，f對應的利息率即為i。查表所得的另乙個比f略小的係數記作f，其對應的利息率為i。
(二)已知的是終值係數
那麼係數與利息率之間是正向關係：利息率越大係數也越大。其關係可用圖2表示。
圖2中，f表示根據題意計算出來的某種終值係數。f為在相應係數表中查到的略小於f的那個係數。f對應的利息率仍記作i，查表所得的另乙個比f略大的係數記作f，其對應的利息率即為i。
上面兩圖中，二者往往相差1％，最多也不超過5％，故曲邊三角形abc和ade可近似地看作直邊三角形。
二、已知係數f和利息率i。求計息期n
(一)已知的是終值係數和年金現值係數
那麼係數與計息期間是正向關係：計息期越大係數也越大。可用圖3表示。
圖3中。f表示根據題意計算出來的終值係數或年金現值係數，f為在相應係數表中查到的略小於f的那個係數。f對應的計息期即為n，查表所得的另乙個比f略大的係數即記作f。
其對應的計息期為n。
(二)已知的是複利現值係數
那麼係數與計息期間是反向關係：計息期越大係數反而越小。可用圖4表示。
圖4中，f表不根據題意計算出來的複利現係數。f1為在相應係數表中查到的略大於f的那個係數，f1對應的計息期即為n1，那麼還有另乙個比f略小的係數即記作f2，其對應的計息期為n2。
同理，當n1和n2無限接近時，近似直邊三角形abc、ade為相似三角形，則有：bc／de=ab/ad
在圖3中即有：f-f1／f2-f1=n-n1/n2-n1
在圖4中則有：n-n1/n2-n1＝f1-f／f1-f2
據上面兩式均可求得： n=n1+f1-f／f2-f1(n2-n1公式2
三、內部報酬率irr的計算
內部報酬率(或叫內部收益率)irr是投資決策常用指標之一，也採用插值法來計算，其原理等同於時間價值中利息率的計算，只是因變數由終值、現值係數轉變為淨現值npv。其計算原理可在圖5中得到反映。
這裡，i1＜i2，且二者之差不超過5％，這是在實際計算中很多人容易忽略的乙個方面。在測算淨現值時。先試用乙個較小的貼現率，求得的npv遠大於零，於是就再選用乙個大得多的貼現率讓npv小於0，之後也直接套用公式3來計算irr，這樣雖然省事。
但誤差較大，有時候會影響決策。因為此時曲邊三角形不可以近似看作直邊三角形，後面的推導也就不成立了。理解了這一原理，一般就會注意兩次試用的貼現率之間差距不要太大。
其標準就是不超過5％。
以上三個公式均是以較小的變數(i1、n1)加上插入值。可以稱為加法公式。公式中分式部分即插入值。
其分子、分母的被減項都是較小變數對應的係數或淨現值，這樣對應記憶快捷準確。加上三者結構一致，記住乙個即可舉一反三，非常方便。
這三個公式均是以較大的一項(i2、n2)為起點，減去插入值，可以稱為減法公式。分式中分子、分母的被減項均是較大變數對應的係數或淨現值，也是對應關係。
本文開頭所提例子應該用減法公式，直接套用公式2，因為其列示已知變數是從大到小，但教材卻用了加法公式2。導致錯誤。如果採用加法公式2，那就要對查表已知的期數及年金現值係數從小到大重新排列。
正確運用兩公式的結果是一樣的，均為5.4年。
插值法的原理是相似三角形定理，據此。即使模糊或忘記了公式也可採用文中任一圖示快速、準確地推導出來。而且採用公式法，不論是根據什麼係數。
也不論是求解利息率、計息期還是irr。均可套用，簡單有效又不容易出錯。
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