幻方例項
3階：4階：
5階：6階：
幻方最早記載於我國西元前500年的春秋時期《大戴禮》中，這說明我國人民早在2023年前就已經知道了幻方的排列規律。而在國外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。我國不僅擁用幻方的發明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。
公元13世紀的數學家楊輝已經編制出3－10階幻方，記載在他2023年寫的《續古摘廳演算法》一書中。在歐洲，直到574年，德國著名畫家丟功才繪製出了完整的4階幻方。
數學上已經證明，對於n>2，n階幻方都存在。目前填寫幻方的方法，是把幻方分成了三類，每類又有各種各樣的填寫方法。
1、奇數階幻方
n為奇數 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)
奇數階幻方最經典的填法是羅伯特法(也有人稱之為樓梯法)。填寫方法是這樣：
把1(或最小的數)放在第一行正中； 按以下規律排列剩下的n×n-1個數：
(1)每乙個數放在前乙個數的右上一格；
(2)如果這個數所要放的格已經超出了頂行那麼就把它放在底行，仍然要放在右一列；
(3)如果這個數所要放的格已經超出了最右列那麼就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
(4)如果這個數所要放的格已經超出了頂行且超出了最右列，那麼就把它放在前乙個數的下一行同一列的格內；
(5)如果這個數所要放的格已經有數填入，處理方法同(4)。
這種寫法總是先向「右上」的方向，象是在爬樓梯。
2、雙偶階幻方
n為偶數，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)
先說明乙個定義。互補：如果兩個數字的和，等於幻方最大數和最小數的和，即 n*n+1，稱為互補。
先看看4階幻方的填法：將數字從左到右、從上到下按順序填寫：
這個方陣的對角線，已經用顏色標出。將對角線上的數字，換成與它互補（同色）的數字。
這裡，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6……換完後就是乙個四階幻方。
也可以保留對角線上的數字不動，而將其它的數換為與它互補的數。
對於n=4k階幻方，我們先把數字按順序填寫。寫好後，按4*4把它劃分成k個方陣。因為n是4的倍數，一定能用4*4的小方陣分割。
然後把每個小方陣的對角線，象製作4階幻方的方法一樣，對角線上的數字換成互補的數字，就構成幻方。
3、單偶階幻方
n為偶數，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)
這是三種裡面最複雜的幻方。
以n=10為例。這時，k=2
(1) 把方陣分為a，b，c，d四個象限，這樣每乙個象限肯定是奇數階。用樓梯法，依次在a象限，d象限，b象限，c象限按奇數階幻方的填法填數。
(2) 在a象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標出k格。a象限的其它行則標出最左邊的k格。將這些格，和c象限相對位置上的數，互換位置。
(3) 在b象限任一行的中間格，自右向左，標出k-1列。(注：6階幻方由於k-1=0，所以不用再作b、d象限的資料交換)，將b象限標出的這些數，和d象限相對位置上的數進行交換，就形成幻方。
看起來很麻煩，其實掌握了方法就很簡單了。
以下是6階幻方填寫的兩個步驟：
幻方問題教案
執教：杜羲
傳說西元前二千多年，在洛水裡浮起乙隻大烏龜，它的背上有個奇特的圖案，（如圖1），後來人們把它稱之為洛書，實際上它是由九個數字排成一定的格式（如圖2），圖中有乙個非常有趣的性質：它的橫、豎、對角線上的每三個數字之和都是15。許多人產生了這樣的問題，圖中的九個數字，有沒有別的填法？
如果把圖形變成4×4個方格，是否也可以進行這樣的填數遊戲？
1、奇偶性規律：偶數是能被2整除的整數，如0、2、6、8等，奇數是指被2除餘1的整數。奇偶數的加法具有下列性質：
奇數+奇數=偶數
奇數+偶數=奇數
偶數+偶數+偶數
2、數的整除規律：a整除b，且a整除c，則a整除b+c，或a整除b-c。
3、商和餘數：整數a除以整數b時，商數是q，餘數是r，必有等式a=b×q+r，0≤r 當r=0時，就說b整除a，記為b|a。
如：30被7除餘2，滿足關係式30=7×4+2，又因為2<4，也可以說4除30餘2。
4、自然數分類：如果兩個整數分別被a除，所得餘數相同，那麼我們說這兩個整數對於a是同餘的。如偶數對於2是同餘的（餘數都為零），所有奇數對於2也是同餘的，（餘數都是1）。
由同餘，可以對整數進行分類，如整數可按3分成：被3除餘0，被3除餘1，被3除餘2這三類，也可按4分類，分成被4除餘0，被4除餘1，被4除餘2，被4除餘3這四類。
5、自然數分拆：將乙個自然數寫成兩個自然數的和，叫做自然數的二分拆，其中乙個和的形式稱為該自然數的乙個分拆。如9寫成2+7，4+5，1+8等就是對9的分拆，而2+7（或4+5，1+8）就是它的乙個分拆。
乙個分拆的被加數和加數調換位置後得到的分拆視為同乙個分拆，如2+7和7+2視為9的同一分拆。
例1：將1-9這九個數，填入圖3的方格內，使每行、每列、及兩條對角線上三個數字的和都相等。
分析與解：假設圖形中填入的數如圖4所示，並設各邊和對角線的三數之和為k，則解法的關鍵是找出中心數及各頂點的數。我們分三步來完成：
（1）求每行、每列三個數的和，即k值。
（2）確定中心數，即b2=？
（3）試填各頂點數及其它方格內數。
∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k
又∵a1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=1+2+…+9=45
∴3k=45 k=15
∵a1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15
∴(a1+b2+c3)+(a2+b2+c2)+(a3+b2+c1)+(b1+b2+b3)=4×15
(a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b2=60
45+3b2=60 3b2=15 b2=5
試填a1，若a1為奇，∵a1+c3=10，故c3為奇，a2和a3也應同奇或同偶，若a2、a3同奇，則c2為奇，b3為奇，這樣就出現了六個奇數，與1-9的自然數中只有5個奇數矛盾；若a2和a3同偶，則c2為偶，b3為偶，c1也為偶，這樣共出現了五個偶數，與1-9的自然數中只有4個偶數矛盾，故a1不能為奇數，則a1應填偶數，此時c1、a3、c3也只能取偶數，由於a1+c3=c1+a3=10，又∵2+8=4+6=10，故只需取a1=2，c3=8，a3=4，c1=6即可，其它各方格中的數須填a2=9，b2=3。c2=1，b1=7。如圖5所示，這樣就得到本題的乙個解，若取a1=4，c3=6，a3=2，c1=8，須取a2=9，b3=7，b1=3，c2=1，根據對稱輪換，答案是唯一的。
說明：此題是引例中的問題，將1-9九個數，填入列3×3個方格內，使每行每列、每條對角線的和相等，這叫做三階幻方，一般地，在n×n個方格內，填上n×n個連續自然數，並且每行、每列、每條對角線上n個自然數的和都相等，則稱它為n階幻方。解決幻方問題的關鍵是確定中心數和頂點數。
例2：把1到6這六個數分別填在圖7-a中三角形三條邊上的六個圓圈內，使每條邊上三個圓圈內的數的和都相等。
分析與解：設填入頂點圓圈內的數分別為a、b、c，其餘三個圓圈內的數分別是d、e、f。每條邊上三個圓圈內數的和為k，如圖7-a。
∵a+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k
∴(a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k
又∵a+b+c+d+e+f=1+2+…+6=21
∴(a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k
21+(a+b+c)=3k
由上式可知：a+b+c最小時，k值也最小，a+b+c最大時，k值也最大，且k是整數，當a+b+c=1+2+3=6時，k=9，a+b+c=4+5+6=15時，k=12，所以k可取9、10、11、12四種情況。
當k=9時，a+b+c=6，6只有乙個三拆分，6=1+2+3，因此a=1，b=2，c=3，其餘三個圓圈內分別填4、5、6、，即e=4，f=5，d=6。這樣就得到乙個基本解（如圖8）將這個解左、右旋轉或適當調換後，可以得到其餘的五個解。
當k=10時，a+b+c=9，9有三種三拆分，9=1+2+6=1+3+5=2+3+4，當a、b、c為1，2，6時，以2、6為頂點的一邊只能填2，如圖9-a，2重複了，故此解排除；當a、b、c為1、3、5時，其餘邊上的圓圈內約數填上2、4、6即可（如圖9-b）；當a、b、c為2、3、4時，以3、4為頂點的一邊只能填上3，如圖9-c，3重複了，故此解也排除。
當k=11，12時，可仿照上面方法求出基本解。
說明：這個數陣問題中各條邊是相互連線的，叫做封閉型數陣圖。封閉型數陣圖的解題突破口，是確定各邊頂點所應填的數。
為確定這些數，採用的方法是建立有關的等式，通過以最小值到最大值的討論，來確定每條邊上的幾個數之和，再將和數進行拆分以找到頂點應填入的數，其餘的數再利用和與頂點的數就容易被填出。
例3、把1-9這九個數，分別填入圓10-a中，使得從中輻射出的每條線上三個圓圈內的數的和相等。
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