座標系與引數方程知識點
(一)座標系
1．平面直角座標系中的座標伸縮變換
設點是平面直角座標系中的任意一點,在變換的作用下,點對應到點,稱為平面直角座標系中的座標伸縮變換,簡稱伸縮變換.
2.極座標系的概念
(1)極座標系
如圖所示,在平面內取乙個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定乙個長度單位,乙個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了乙個極座標系.
注:極座標係以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角座標係以互相垂直的兩條數軸為幾何背景;平面直角座標系內的點與座標能建立一一對應的關係,而極座標系則不可.但極座標系和平面直角座標系都是平面座標系.
(2)極座標
設m是平面內一點,極點與點m的距離|om|叫做點m的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點m的極角,記為.有序數對叫做點m的極座標,記作.
一般地,不作特殊說明時,我們認為可取任意實數.
特別地,當點在極點時,它的極座標為(0,)(∈r).和直角座標不同,平面內乙個點的極座標有無數種表示.
如果規定,那麼除極點外,平面內的點可用唯一的極座標表示;同時,極座標表示的點也是唯一確定的.
3.極座標和直角座標的互化
(1)互化背景:把直角座標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,並在兩種座標系中取相同的長度單位,如圖所示:
(2)互化公式:設是座標平面內任意一點,它的直角座標是,極座標是(),於是極座標與直角座標的互化公式如表:
在一般情況下,由確定角時,可根據點所在的象限最小正角.
4.常見曲線的極座標方程
注:由於平面上點的極座標的表示形式不唯一,即都表示同一點的座標,這與點的直角座標的唯一性明顯不同.所以對於曲線上的點的極座標的多種表示形式,只要求至少有乙個能滿足極座標方程即可.
例如對於極座標方程點可以表示為等多種形式,其中,只有的極座標滿足方程.
5.圓與直線一般極座標方程
（1）圓的極座標方程
若圓的圓心為，半徑為r，求圓的極座標方程。
設為圓上任意一點，由餘弦定理，得
pm2 = om2 +op2 2om·opcos∠pom，
則圓的極座標方程是：
（2）直線的極座標方程
若直線l經過點，且極軸到此直線的角為α ，求直線l的極座標方程。
設直線l上任意一點的座標為p(ρ，θ)，由正弦定理，得：
= 整理得直線l的極座標方程為
6、圓相對於極座標系的幾種不同的位置方程的形式分別為：
6、直線相對於極座標系的幾種不同的位置方程的形式分別為：
（二）、引數方程
1.引數方程的概念
一般地,在平面直角座標系中,如果曲線上任意一點的座標都是某個變數的函式①,並且對於的每乙個允許值,由方程組①所確定的點都在這條曲線上,那麼方程①就叫做這條曲線的引數方程,聯絡變數的變數叫做參變數,簡稱引數,相對於引數方程而言,直接給出點的座標間關係的方程叫做普通方程.
2.引數方程和普通方程的互化
(1)曲線的引數方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去引數而從引數方程得到普通方程.
(2)如果知道變數中的乙個與引數的關係,例如,把它代入普通方程,求出另乙個變數與引數的關係,那麼就是曲線的引數方程,在引數方程與普通方程的互化中,必須使的取值範圍保持一致.
注：普通方程化為引數方程，引數方程的形式不一定唯一。應用引數方程解軌跡問題，關鍵在於適當地設引數，如果選用的引數不同，那麼所求得的曲線的引數方程的形式也不同。
3．圓的引數
如圖所示，設圓的半徑為，點從初始位置出發，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設，則。
這就是圓心在原點，半徑為的圓的引數方程，其中的幾何意義是轉過的角度。
圓心為，半徑為的圓的普通方程是，
它的引數方程為：。
4．橢圓的引數方程
以座標原點為中心，
①焦點在軸上的橢圓的標準方程為其引數方程為，其中引數稱為離心角；
②焦點在軸上的橢圓的標準方程是其引數方程為其中引數仍為離心角，通常規定引數的範圍為∈[0，2）。
注：橢圓的引數方程中，引數的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉角區分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉角數值可相等外（即在到的範圍內），在其他任何一點，兩個角的數值都不相等。但當時，相應地也有，在其他象限內類似。
5．雙曲線的引數方程
以座標原點為中心，
①焦點在軸上的雙曲線的標準議程為其引數方程為，其中
②焦點在軸上的雙曲線的標準方程是其引數方程為
以上引數都是雙曲線上任意一點的離心角。
6．拋物線的引數方程
以座標原點為頂點，開口向右的拋物線的引數方程為
7．直線的引數方程
經過點，傾斜角為的直線的普通方程是而過，傾斜角為的直線的引數方程為。
注：直線引數方程中引數的幾何意義：過定點，傾斜角為的直線的引數方程為，其中表示直線上以定點為起點，任一點為終點的有向線段的數量，當點在上方時，＞0；當點在下方時，＜0；當點與重合時， =0。
我們也可以把引數理解為以為原點，直線向上的方向為正方向的數軸上的點的座標，其單位長度與原直角座標系中的單位長度相同。
其中引數t是以定點p（x0，y0）為起點，對應於t點m（x，y）為終點的有向線段pm的數量，又稱為點p與點m間的有向距離．
根據t的幾何意義，有以下結論．
．設a、b是直線上任意兩點，它們對應的引數分別為ta和tb，則＝＝．
．線段ab的中點所對應的引數值等於．
三）例題鑑賞例1（2012湖北）(23)(本小題滿分10分)選修44：座標系與引數方程
在直角座標中，圓，圓。
(ⅰ)在以o為極點，x軸正半軸為極軸的極座標系中，分別寫出圓的極座標方程，並求出圓的交點座標(用極座標表示求出的公共弦的引數方程。
例2（座標系與引數方程）直線與圓相交的弦長為
解析：化極座標為直角座標得直線
例3（陝西文17）直角座標系中，以原點o為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，設點a，b分別在曲線：（為引數）和曲線：上，則的最小值為 1 ．
【分析】利用化歸思想和數形結合法，把兩條曲線轉化為直角座標系下的方程．
【解】曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為．
例4（浙江理科）已知直線，為引數，為的傾斜角，且與曲線為引數相交於a、b兩點，點的座標為
（1）求的周長； （2）若點恰為線段的三等分點，求的面積。
解：（1）將曲線c消去可得：，直線過曲線c的左焦點，
由橢圓的定義可知為
（2）可設直線的方程為，若點為線段的三等分點，不妨設
，，則聯立，消去得：
則，消去得：
此時所以
選修4 4座標系與引數方程
第一節座標系 突破點 一 平面直角座標系下圖形的伸縮變換 基礎聯通抓主幹知識的 源 與 流 設點p x，y 是平面直角座標系中的任意一點，在變換 的作用下，點p x，y 對應到點p x y 稱 為平面直角座標系中的座標伸縮變換，簡稱伸縮變換 考點貫通抓高考命題的 形 與 神 典例 求橢圓 y2 1，...
選修4 4座標系與引數方程第二節引數方程
1 引數方程的概念 一般地，在平面直角座標系中，如果曲線上任意一點的座標x，y都是某個變數t的函式 並且對於t的每乙個允許值，由方程組 所確定的點m x，y 都在這條曲線上，那麼方程 就叫做這條曲線的引數方程，聯絡變數x，y的變數t叫做參變數，簡稱引數，相對於引數方程而言，直接給出點的座標間關係的方...
12 2座標系與引數方程
1.2011 北京海淀期中 在極座標系下，已知圓c的方程為 2cos 則下列各點中，在圓c上的是 a 1，b 1，cd 答案 a 解析 將備選答案代入圓c的方程，因為2cos 2 1，所以a成立 2 2011 上海奉賢區摸底 已知點p 3，m 在以點f為焦點的拋物線 t為引數 上，則 pf a 1 ...