1．引數方程的概念
一般地，在平面直角座標系中，如果曲線上任意一點的座標x，y都是某個變數t的函式①，並且對於t的每乙個允許值，由方程組①所確定的點m(x，y)都在這條曲線上，那麼方程①就叫做這條曲線的引數方程，聯絡變數x，y的變數t叫做參變數，簡稱引數，相對於引數方程而言，直接給出點的座標間關係的方程叫做普通方程．
2．引數方程和普通方程的互化
(1)曲線的引數方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消去引數而從引數方程得到普通方程．
(2)如果知道變數x，y中的乙個與引數t的關係，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另乙個變數與引數的關係y＝g(t)，那麼就是曲線的引數方程，在引數方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值範圍保持一致．
3.圓的引數方程
如圖所示，設圓o的半徑為r，點m從初始位置m0出發，按逆時針方向在圓o上作勻速圓周運動，設m(x，y)，則
(θ為引數)．
這就是圓心在原點o，半徑為r的圓的引數方程，其中θ的幾何意義是om0繞點o逆時針旋轉到om的位置時，om0轉過的角度．
圓心為(a，b)，半徑為r的圓的普通方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
它的引數方程為： (θ為引數)．
4．橢圓的引數方程
以座標原點o為中心，焦點在x軸上的橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，其引數方程為(φ為引數)，其中引數φ稱為離心角；焦點在y軸上的橢圓的標準方程是＋＝1(a＞b＞0)，其引數方程為(φ為引數)，其中引數φ仍為離心角，通常規定引數φ的範圍為φ∈[0,2π)．
5．雙曲線的引數方程
以座標原點o為中心，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)，其引數方程為(φ為引數)，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π.
焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是－＝1(a＞0，b＞0)，其引數方程為(φ為引數，其中φ∈(0,2π)且φ≠π.
以上引數φ都是雙曲線上任意一點的離心角．
6．拋物線的引數方程
以座標原點為頂點，開口向右的拋物線y2＝2px(p＞0)的引數方程為(t為引數)，引數t為任意實數，它表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數．頂點在座標原點，開口向上的拋物線x2＝2py(p＞0)的引數方程是(t為引數)．
7．直線的引數方程
經過點m0(x0，y0)，傾斜角為α(α≠)的直線l的普通方程是y－y0＝tan_α(x－x0)，而過m0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的引數方程為(t為引數)．
1．引數方程為(0≤t≤5)的曲線為________．
解析：化為普通方程為x＝3(y＋1)＋2即x－3y－5＝0，
由於x＝3t2＋2∈[2,77]，
故曲線為線段．
答案：線段
2．將下列引數方程化為普通方程
(1) (θ為引數)；
(2) (t為引數)．
解析：(1)
(x＋1)2＋(y－2)2＝9.
(2)x＝t2＝
∴y2＝＝x2＋＝1.
3．動圓x2＋y2－2tx＋ty＝0(t為引數)，則圓心的軌跡為________．
解析：圓心軌跡，即y＝－x.
答案：直線x＋2y＝0
4．已知⊙o的方程為x2＋y2＝1，則⊙o上的點到直線(t為引數)的距離最大值為________．
解析：直線的普通方程為3x＋4y－10＝0，圓心o(0,0)到該直線的距離為＝2，故圓o上的點到直線的距離最大值為2＋1＝3.
答案：3
5．已知曲線(θ為引數，0≤θ≤π)上一點p，原點為o，直線po的傾斜角為，則p點座標是________．
解析：曲線，(0≤θ≤π)對應的普通方程為＋＝1(y≥0)．
直線po的方程為y＝x代入＋＝1得x＝，y＝.
答案： 已知曲線c1： (t為引數)，曲線c2： (θ為引數)．
(1)化c1，c2的方程為普通方程，並說明它們分別表示什麼曲線；
(2)若c1上的點p對應的引數為t＝，q為c2上的動點，求pq中點m到直線c3： (t為引數)距離的最小值．
【解析】 (1)c1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，c2：＋＝1.
c1為圓心是(－4,3)，半徑為1的圓．
c2為中心是座標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓．
(2)當t＝時，p(－4,4)、q(8cos θ，3sin θ)，
故m.c3為直線x－2y－7＝0，
m到c3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13|.
從而當cos θ＝，sin θ＝－時，d取得最小值.
【點評】 若曲線的引數方程與三角函式有關，常利用三角恒等變換消去引數，本題中將c1和c2的引數方程化為普通方程時利用了cos2 θ＋sin2 θ＝1.
1．將下列引數方程化為普通方程，並說明方程表示的曲線．
(1) (t為引數)；
(2) (t為引數，0≤t≤π)；
(3) (θ為引數)；
【解析】 (1)由已知t＝，代入y＝4t中，得4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一條直線．
(2)∵0≤t≤π，
∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，
(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2 t＋16sin2 t＝16.
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)，
它表示的曲線是以(1，－2)為圓心，半徑為4的上半圓．
(3)由y＝－1＋cos 2θ可得y＝－2sin2 θ，把sin2 θ＝x－2代入y＝－2sin2 θ可得y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0，
又∵2≤x＝2＋ sin2 θ≤3，
∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一條線段.
在平面直角座標系xoy中，直線l的引數方程為(引數t∈r)，圓c的引數方程為(引數θ∈[0,2π])，則圓c的圓心座標為________，圓心到直線l的距離為________．
【解析】 ∵圓c的引數方程為
∴圓心座標為(0,2)，
又∵化為普通方程為x＋y－6＝0，
∴圓心到直線的距離d＝＝2.
【答案】 (0,2) 2
【點評】 熟悉圓與直線以及常用的圓錐曲線的引數方程，這是對引數方程的基本要求．而通過轉化為普通方程來解決問題，這是高考的基本要求，也是今後高考命題的方向．
2．設曲線c的引數方程為(θ為引數)，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線c上到直線l距離為的點的個數為________．
解析：∵曲線c的方程為(θ為引數)，
∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9，而l為x－3y＋2＝0，
∴圓心(2，－1)到l的距離d＝＝＝.
又∵＜3，＞3，
∴有2個點．
答案：2個
在平面直角座標系xoy中，設p(x，y)是橢圓＋y2＝1上的乙個動點，求s＝x＋y的最大值．
【解析】 由於橢圓＋y2＝1的引數方程為(φ為引數)，故可設動點p的座標為(cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.
因此，s＝x＋y＝cos φ＋sin φ
＝2·＝2sin.
所以當φ＝時，s取得最大值2.
【點評】 橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的點可設為(acos θ，bsin θ)(θ∈r或0≤θ＜2π)，用來研究與橢圓上的點有關的最值問題非常方便，另外，拋物線y2＝2px(p＞0)上的點常設為(2pt2,2pt)(t為引數)．
3．(2023年江蘇)在平面直角座標系xoy中，求過橢圓
(φ為引數)的右焦點，且與直線(t為引數)平行的直線的普通方程．
解析：由題設知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，從而c＝＝4，所以右焦點為(4,0)．將已知直線的引數方程化為普遍方程：x－2y＋2＝0.
故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
直線l過點m0(1,5)，傾斜角是，且與直線x－y－2＝0交於m，求|mm0|的長．
【解析】 直線l的引數方程為
即代入直線x－y－2＝0.
1＋－5－t－2＝0，
∴t＝－10－6.
由t的幾何意義知，
∴|mm0|＝|t|＝10＋6.
【點評】 過點m0(x0，y0)的直線引數方程一般可表示為：
但此方程中引數t沒有直接反映直線上兩點m0、m間的距離，只有將方程化為：後，引數t才有幾何意義，且|t|＝|m0m|，這一點在研究直線上的距離、曲線的弦長問題時易忽略．
4．已知直線l過點p(2,0)，斜率為，直線l和拋物線y2＝2x相交於a、b兩點，設線段ab的中點為m，求：
(1)p、m兩點間的距離|pm|；
選修4 4座標系與引數方程
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選修4 4座標系與引數方程 知識點總結
座標系與引數方程知識點 一 座標系 1 平面直角座標系中的座標伸縮變換 設點是平面直角座標系中的任意一點,在變換的作用下,點對應到點,稱為平面直角座標系中的座標伸縮變換,簡稱伸縮變換.2.極座標系的概念 1 極座標系 如圖所示,在平面內取乙個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸 再選定乙個長度...
12 2座標系與引數方程
1.2011 北京海淀期中 在極座標系下，已知圓c的方程為 2cos 則下列各點中，在圓c上的是 a 1，b 1，cd 答案 a 解析 將備選答案代入圓c的方程，因為2cos 2 1，所以a成立 2 2011 上海奉賢區摸底 已知點p 3，m 在以點f為焦點的拋物線 t為引數 上，則 pf a 1 ...