考點39 座標系與引數方程
【高考再現】
1．（2023年高考（上海理））如圖,在極座標系中,過點的直線與極軸的夾角
.若將的極座標方程寫成的形式,則
2．（2023年高考（陝西理））(座標系與引數方程)直線與圓相交的弦長為
【解析】:將極座標方程化為普通方程為與,聯立方程組成方程組求出兩交點的座標和,故弦長等於.
3．（2023年高考（江西理））曲線c的直角座標方程為x2+y2-2x=0,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立積座標系,則曲線c的極座標方程為
4．（2023年高考（湖南理））在直角座標系xoy 中,已知曲線: (t為引數)與曲線: (為引數,) 有乙個公共點在x軸上,則.
【答案】
【解析】曲線:直角座標方程為,與軸交點為;
曲線:直角座標方程為,其與軸交點為,
由,曲線與曲線有乙個公共點在x軸上,知.
5．（2023年高考（湖北理））(選修4-4:座標系與引數方程)在直角座標系xoy中,以原點o為極點,x軸的正半軸為極軸建立極座標系. 已知射線與曲線(t為引數)相交於a,b兩點,則線段ab的中點的直角座標為
6．（2023年高考（廣東理））(座標系與引數方程)在平面直角座標系中,曲線和的引數方程分別為(為引數)和(為引數),則曲線與的交點座標為________.
7．（2023年高考（北京理））直線(為引數)與曲線(為引數)的交點個數為
【答案】2
【解析】直線轉化為,曲線轉化為圓,將題目所給的直線和圓圖形作出,易知有兩個交點.
8．（2023年高考（安徽理））在極座標系中,圓的圓心到直線的距離是
9．（2023年高考（新課標理））本小題滿分10分)選修4—4;座標系與引數方程
已知曲線的引數方程是,以座標原點為極點,軸的正半軸
為極軸建立座標系,曲線的座標系方程是,正方形的頂點都在上,
且依逆時針次序排列,點的極座標為
(1)求點的直角座標;
(2)設為上任意一點,求的取值範圍.
10．（2023年高考（遼寧理））選修44:座標系與引數方程
在直角座標中,圓,圓.
(ⅰ)在以o為極點,x軸正半軸為極軸的極座標系中,分別寫出圓的極座標方程,並求出圓的交點座標(用極座標表示);
(ⅱ)求出的公共弦的引數方程.
【解析】
11．（2023年高考（江蘇））[選修4 - 4:座標系與引數方程]在極座標中,已知圓經過點,圓心為直線與極軸的交點,求圓的極座標方程.
【解析】∵圓圓心為直線與極軸的交點,
∴在中令,得.
∴圓的圓心座標為(1,0).
∵圓經過點,∴圓的半徑為.
∴圓經過極點.∴圓的極座標方程為.
12．（2023年高考（福建理））在平面直角座標系中,以座標原點為幾點,軸的正半軸為極軸建立極座標系.已知直線上兩點的極座標分別為,圓的引數方程(為引數).
(ⅰ)設為線段的中點,求直線的平面直角座標方程;
(ⅱ)判斷直線與圓的位置關係.
13．（2023年高考（湖南文））在極座標系中,曲線:與曲線:的乙個交點在極軸上,則_______.
14．（2023年高考（廣東文））在平面直角座標系中,曲線和的引數方程分別為(為引數,)和(為引數),則曲線與的交點座標為________.
15．（2023年高考（遼寧文））選修44:座標系與引數方程
在直角座標中,圓,圓.
(ⅰ)在以o為極點,x軸正半軸為極軸的極座標系中,分別寫出圓的極座標方程,並求出圓的交點座標(用極座標表示);
(ⅱ)求圓的公共弦的引數方程.
16．（2023年高考（課標文））已知曲線的引數方程是(是引數),以座標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極座標系,曲線:的極座標方程是=2,正方形abcd的頂點都在上,且a,b,c,d依逆時針次序排列,點a的極座標為(2,).
(ⅰ)求點a,b,c,d的直角座標;
(ⅱ)設p為上任意一點,求的取值範圍.
【方法總結】
引數方程化為普通方程：化引數方程為普通方程的基本思路是消去引數，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數的)消去法，引數方程通過代入消元或加減消元消去引數化為普通方程，不要忘了引數的範圍．
【考點剖析】
一．明確要求
考查極座標與直角座標的互化以及有關圓的極座標問題；考查直線、圓和圓錐曲線的引數方程以及簡單的應用問題．
二．命題方向
要抓住極座標與直角座標互化公式這個關鍵點，這樣就可以把極座標問題轉化為直角座標問題解決，同時複習以基礎知識、基本方法為主；緊緊抓住直線的引數方程、圓的引數方程、圓錐曲線的引數方程的建立以及各引數方程中引數的幾何意義，同時要熟練掌握引數方程與普通方程互化的一些方法.
三．規律總結
2．直角座標與極座標的互化
把直角座標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩座標係中取相同的長度單位．如圖，設m是平面內的任意一點，它的直角座標、極座標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則或
3．直線的極座標方程
4．圓的極座標方程
若圓心為m(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
幾個特殊位置的圓的極座標方程
(1)當圓心位於極點，半徑為r：ρ＝r；
(2)當圓心位於m(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos_θ；
(3)當圓心位於m，半徑為a：ρ＝2asin_θ.
基礎梳理
1．引數方程的意義
在平面直角座標系中，如果曲線上的任意一點的座標x，y都是某個變數的函式並且對於t的每個允許值，由方程組所確定的點m(x，y)都在這條曲線上，則該方程叫曲線的引數方程，聯絡變數x，y的變數t是參變數，簡稱引數．相對於引數方程而言，直接給出點的座標間關係的方程叫做普通方程．
2．常見曲線的引數方程的一般形式
(1)經過點p0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的引數方程為(t為引數)．
設p是直線上的任一點，則t表示有向線段的數量．
(2)圓的引數方程(θ為引數)．
(3)圓錐曲線的引數方程
橢圓＋＝1的引數方程為(θ為引數)．
雙曲線－＝1的引數方程為(φ為引數)．
拋物線y2＝2px的引數方程為(t為引數)．
【基礎練習】
1．（經典習題）在極座標系中，直線l的方程為ρsin θ＝3，則點到直線l的距離為________．
2．（經典習題）極座標方程ρ＝cos θ和引數方程(t為引數)所表示的圖形分別是( )．
a．直線、直線b．直線、圓
c．圓、圓d．圓、直線
【解析】 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝代入到ρ＝cos θ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圓．
又∵相加得x＋y＝1，表示直線．
【答案】 d
3．（經典習題）若直線(t為實數)與直線4x＋ky＝1垂直，則常數k
4．（經典習題）二次曲線(θ是引數)的左焦點的座標是________．
【解析】 題中二次曲線的普通方程為＋＝1左焦點為(－4,0)．
【答案】 (－4,0).
【名校模擬】
一．基礎紮實
1．(北京市朝陽區2012屆高三年級第二次綜合練習理)在平面直角座標系中，直線的引數方程為（為引數）．以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為，則直線和曲線的公共點有
a．個b．個c．個d．無數個
2．(2012北京海淀區高三年級第二學期期末練習理)直線（為引數）的傾斜角的大小為
（abcd）
【答案】d
【解析】將直線方程化為普通方程為.
3．(北京市西城區2012屆高三下學期二模試卷理)橢圓是引數的離心率是（ ）
（a）（b）（c）（d）
4．(北京市東城區2011-2012學年度第二學期高三綜合練習（二）理)若圓的引數方程為（為引數），則圓的圓心座標為 ，圓與直線的交點個數為 .
5．(襄陽五中高三年級第一次適應性考試理) (《座標系與引數方程選講》選做題).已知直線的極座標方程為，則點到這條直線的距離為
【答案】：
【解析】：由題意得，直線的普通方程為，點a的直角座標為，
由點到直線的距離公式得。
6．(湖北省武漢市2012屆高中畢業生五月供題訓練（二）理)
已知曲線c的極座標方翟是p =2sin，直線l的引數方程是（t為引數）．
設直線l與x軸的交點是m，n是曲線c上一動點，則|mn|的最大值為
7．極座標系中，圓：則圓心m到直線的距離是
8．(2023年大連瀋陽聯合考試第二次模擬試題理)
已知極座標的極點在平面直角座標系的原點處，極軸與軸的正半軸重合，且長度單位相同．直線的極座標方程為：,點，引數.
(ⅰ)求點軌跡的直角座標方程；(ⅱ)求點到直線距離的最大值.
【解析】
(ⅰ) 且引數，
所以點的軌跡方程為． 3分
(ⅱ)因為，所以，
所以，所以直線的直角座標方程為． 6分
法一：由(ⅰ) 點的軌跡方程為，圓心為，半徑為2.
，所以點到直線距離的最大值. 10分
法二：，當，，即點到直線距離的最大值. 10分
二．能力拔高
9．(北京市西城區2012屆高三4月第一次模擬考試試題理) 在極座標系中，極點到直線的距離是_____．
10．(2012東城區普通高中示範校高三綜合練習（二）理)
在平面直角座標系下，已知曲線（為引數）和曲線若曲線，有公共點，則實數的取值範圍為
【答案】
【解析】曲線即直線，曲線是以點為圓心、為半徑的圓，根據已知實數滿足不等式，即得。
11．圓（為引數）的極座標方程為 ．
12．直線的極座標方程為，圓c：（θ為引數）上的點到直線的距離值為d，則d的最大值為
13．(2023年長春市高中畢業班第二次調研測試文)
在直角座標系中，曲線的引數方程為（為引數）.以為極點，軸正半軸為極軸，建立極座標系，曲線的極座標方程為.
5 3座標系的圖形
有效教學流程46 5.3直角座標系中的圖形 製作人杜長春審核人王愛玲 學習目標經歷圖形座標變化與圖形的平移，軸對稱，伸長，壓縮之間關係的探索過程，發展學生的形象思維能力和數形結合意識。教學過程 一 引入新課 8分鐘 將座標是 0，0 5，4 3，0 5，1 5，1 3，0 4，2 0，0 的點依次用...
12 2座標系與引數方程
1.2011 北京海淀期中 在極座標系下，已知圓c的方程為 2cos 則下列各點中，在圓c上的是 a 1，b 1，cd 答案 a 解析 將備選答案代入圓c的方程，因為2cos 2 1，所以a成立 2 2011 上海奉賢區摸底 已知點p 3，m 在以點f為焦點的拋物線 t為引數 上，則 pf a 1 ...
8座標系與引數方程總結
極坐 4.曲線的極座標方程 標過點m 0，0 且與極軸的夾角為 的極座標方程為 sin 0 sin 0 圓的極座標方程 圓心為，半徑為r 1.引數方程的定義 在取定的座標系中，如果曲線上任意一點的座標x y 都是某個變數t的函式，即並且對於t每乙個允許值，由方程組所確定的點m x，y 都在 這條曲線...