極座標及引數方程知識點及例題
一、極座標知識點
1．伸縮變換：設點是平面直角座標系中的任意一點，在變換的作用下，點對應到點，稱為平面直角座標系中的座標伸縮變換，簡稱伸縮變換。
2.極座標系的概念：在平面內取乙個定點o，從o引一條射線ox，選定乙個單位長度以及計算角度的正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了乙個極座標系，o點叫做極點，射線ox叫做極軸.
①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位和它的正方向，構成了極座標系的四要素，缺一不可.
3．點的極座標：設是平面內一點，極點與點的距離叫做點的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點的極角，記為。有序數對叫做點的極座標，記為.
極座標與表示同乙個點。極點的座標為.
4.若,則,規定點與點關於極點對稱，即與表示同一點。
如果規定，那麼除極點外，平面內的點可用唯一的極座標表示；同時，極座標表示的點也是唯一確定的。
5．極座標與直角座標的互化：
(1)互化的前提條件
①極座標系中的極點與直角座標系中的原點重合；
②極軸與x軸的正半軸重合
③兩種座標系中取相同的長度單位.
(2)互化公式
6.曲線的極座標方程：
1．直線的極座標方程：若直線過點，且極軸到此直線的角為，則它的方程為
幾個特殊位置的直線的極座標方程
（1）直線過極點 （2）直線過點且垂直於極軸 （3）直線過且平行於極軸
方程：（1）或寫成及 （2） （3）ρsinθ=b
2．圓的極座標方程： 若圓心為，半徑為r的圓方程為：
幾個特殊位置的圓的極座標方程
（1）當圓心位於極點，r為半徑 （2）當圓心位於(a>0),a為半徑 （3）當圓心位於，a為半徑
方程：(1) (2) (3)
7.在極座標系中，表示以極點為起點的一條射線；表示過極點的一條直線.
二、引數方程知識點
1.引數方程的概念：在平面直角座標系中，若曲線c上的點滿足，該方程叫曲線c的引數方程，變數t是參變數，簡稱引數。
（在平面直角座標系中，如果曲線上任意一點的座標都是某個變數的函式並且對於的每乙個允許值，由這個方程所確定的點都在這條曲線上，那麼這個方程就叫做這條曲線的引數方程，聯絡變數的變數叫做參變數，簡稱引數。）
相對於引數方程而言，直接給出點的座標間關係的方程叫做普通方程。
2．曲線的引數方程
（1）圓的引數方程可表示為.
（2）橢圓的引數方程可表示為.
（3）拋物線的引數方程可表示為.
（4）經過點，傾斜角為的直線的引數方程可表示為（為引數）.
3．在建立曲線的引數方程時，要註明引數及引數的取值範圍。在引數方程與普通方程的互化中，必須使的取值範圍保持一致.
規律方法指導：
1、把引數方程化為普通方程，需要根據其結構特徵，選取適當的消參方法. 常見的消參方法有：代入消法 ；加減消參；平方和（差）消參法；乘法消參法；比值消參法；利用恒等式消參法；混合消參法等.
2、把曲線的普通方程化為引數方程的關鍵：一是適當選取引數；二是確保互化前後方程的等價性， 注意方程中的引數的變化範圍。
極座標方程典型例題
1．點p的直角座標為(－，)，那麼它的極座標可表示為________．
解析直接利用極座標與直角座標的互化公式．答案
2．若曲線的極座標方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角座標系，則該曲線的直角座標方程為________．
解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ.
∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.
3．(2011·西安五校一模)在極座標系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點的極座標為________．
解析 ρ＝2sin θ的直角座標方程為x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－1的直角座標方程為x＝－1，聯立方程，得解得即兩曲線的交點為(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此這兩條曲線的交點的極座標為.
4．在極座標系中，直線l的方程為ρsin θ＝3，則點到直線l的距離為________．
解析 ∵直線l的極座標方程可化為y＝3，點化為直角座標為(，1)，
∴點到直線l的距離為2.
5．(2011·廣州調研)在極座標系中，直線ρsin＝2被圓ρ＝4截得的弦長為________．
解析由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化為x＋y－2＝0.圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，由圓中的弦長公式得：2＝2＝4.
考點一極座標與直角座標的互化
【例1】(2011·廣州測試(二))設點a的極座標為，直線l過點a且與極軸所成的角為，則直線l的極座標方程為
[審題視點] 先求直角座標系下的直線方程再轉化極座標方程．
【解析】∵點a的極座標為，∴點a的平面直角座標為(，1)，又∵直線l過點a且與極軸所成的角為，∴直線l的方程為y－1＝(x－)tan，即x－y－2＝0，∴直線l的極座標方程為ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理為ρcos＝1或ρsin＝1或ρsin＝1.
答案 ρcos＝1或ρcos θ－ρsin θ－2＝0或ρsin＝1或ρsin＝1.
考點二圓的極座標方程的應用
【例2】在極座標系中，若過點(1,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cos θ於a、b兩點，則|ab
[審題視點] 先將直線與曲線的極座標方程化為普通方程，再利用圓的知識求|ab|.
【解析】注意到在極座標系中，過點(1,0)且與極軸垂直的直線的直角座標方程是x＝1，曲線ρ＝4cos θ的直角座標方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圓心(2,0)到直線x＝1的距離等於1，因此|ab|＝2＝2.
考點三極座標方程的綜合應用
【例3】如圖，在圓心的極座標為a(4,0)，半徑為4的圓中，求過極點o的弦的中點的軌跡．
[審題視點] 在圓上任取一點p(ρ0，θ0)，建立p點與p的中點m的關係即可．
【解析】設m(ρ，θ)是所求軌跡上任意一點．連線om並延長交圓a於點p(ρ0，θ0)，則有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圓心為(4,0)，半徑為4的圓的極座標方程為ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.
故所求軌跡方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓．
練習1. 化極座標方程為直角座標方程為（ ）
a． b． c． d．
2．點的直角座標是，則點的極座標為（ ）
a． b． c． d．
3．極座標方程表示的曲線為（ ）
a．一條射線和乙個圓 b．兩條直線 c．一條直線和乙個圓 d．乙個圓
4．圓的圓心座標是（ ）
a． b． c． d．
5.在極座標系中，圓的圓心到直線的距離是
【解析】圓的圓心
直線；點到直線的距離是
6.在極座標系中，點到圓的圓心的距離為[**:學#科#網]
（a）2bcd)
7.直線與圓相交的弦長為
【解析】是過點且垂直於極軸的直線，是以為圓心，1為半徑的圓，則弦長=.
8.曲線c的直角座標方程為x2＋y2-2x=0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立積座標系，則曲線c的極座標方程為
【解析】本題考查極座標方程與直角座標方程的互化及轉化與化歸的數學思想.
由極座標方程與直角座標方程的互化公式得
，又，所以.
9.在極座標中，已知圓經過點，圓心為直線與極軸的交點，求圓的極座標方程．
【解析】∵圓圓心為直線與極軸的交點，
∴在中令，得。
∴圓的圓心座標為（1，0）。
∵圓經過點，∴圓的半徑為。
∴圓經過極點。∴圓的極座標方程為。
引數方程典型例題
1． 極座標方程ρ＝cos θ和引數方程(t為引數)所表示的圖形分別是( )．
a．直線、直線b．直線、圓
c．圓、圓d．圓、直線
解析 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝代入到ρ＝cos θ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圓．
又∵相加得x＋y＝1，表示直線．
答案 d
2．若直線(t為實數)與直線4x＋ky＝1垂直，則常數k
解析引數方程所表示的直線方程為3x＋2y＝7，由此直線與直線4x＋ky＝1垂直可得－×＝－1，解得k＝－6.
答案 －6
3．二次曲線(θ是引數)的左焦點的座標是________．
解析題中二次曲線的普通方程為＋＝1左焦點為(－4,0)．
答案 (－4,0)
4．(2011·廣州調研)已知直線l的引數方程為： (t為引數)，圓c的極座標方程為ρ＝2sin θ，則直線l與圓c的位置關係為________．
解析將直線l的引數方程：化為普通方程得，y＝1＋2x，圓ρ＝2sin θ的直角座標方程為x2＋(y－)2＝2，圓心(0，)到直線y＝1＋2x的距離為，因為該距離小於圓的半徑，所以直線l與圓c相交．
答案相交
5．(2011·廣東)已知兩曲線引數方程分別為(0≤θ＜π)和(t∈r)，它們的交點座標為________．
解析由(0≤θ＜π)得，＋y2＝1(y≥0)由(t∈r)得，x＝y2，∴5y4＋16y2－16＝0.
解得：y2＝或y2＝－4(捨去)．
則x＝y2＝1又θ≥0，得交點座標為.
答案 考點一引數方程與普通方程的互化
【例1】把下列引數方程化為普通方程：
(1) (2)
[審題視點] (1)利用平方關係消引數θ；
(2)代入消元法消去t.
解 (1)由已知由三角恒等式cos2 θ＋sin2θ＝1,
可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，這就是它的普通方程．
(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋t中，
得y＝5＋(2x－2)，即x－y＋5－＝0就是它的普通方程．
考向二直線與圓的引數方程的應用
【例2】已知直線l的引數方程為(引數t∈r)，圓c的引數方程為(引數θ∈[0,2π])，求直線l被圓c所截得的弦長．
極座標及引數方程知識點
1 伸縮變換 設點是平面直角座標系中的任意一點，在變換的作用下，點對應到點，稱為平面直角座標系中的座標伸縮變換，簡稱伸縮變換。2.極座標系的概念 在平面內取乙個定點，叫做極點 自極點引一條射線叫做極軸 再選定乙個長度單位 乙個角度單位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆時針方向 這樣就建立了乙個極座標...
極座標與引數方程知識點總結
題型一 引數方程轉化為普通方程 例 已知圓c的圓心是直線與軸的交點，且圓c與直線相切，則圓c的方程為 分析 這是一道利用圓與直線的位置關係求圓方程的填空題，其中一條直線的方程用引數方程給出。解析 化直線為，圓c的圓心是，半徑 圓c的方程為 點睛 將直線的引數方程化為直角座標方程是解決本題的乙個關鍵點...
極座標與引數方程知識點總結大全
1 平面直角座標系中的座標伸縮變換 設點p x,y 是平面直角座標系中的任意一點,在變換的作用下,點p x,y 對應到點,稱為平面直角座標系中的座標伸縮變換,簡稱伸縮變換.2.極座標系的概念 1 極座標系 如圖所示,在平面內取乙個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸 再選定乙個長度單位,乙個角...