高中數學回歸課本校本教材24
（一）基礎知識引數極座標
1.極座標定義：m是平面上一點，表示om的長度，是，則有序實數實數對,叫極徑，叫極角；一般地，，。
2.常見的曲線的極座標方程
（1）直線過點m,傾斜角為常見的等量關係：
正弦定理， ；
（2）圓心p半徑為r的極座標方程的等量關係：勾股定理或餘弦定理；
（3）圓錐曲線極座標：，當時，方程表示雙曲線；當時，方程表示拋物線；當時，方程表示橢圓.提醒：極點是焦點，一般不是直角座標下的座標原點。極座標方程表示的曲線是雙曲線
3.引數方程：（1）圓的引數方程：
（2）橢圓的引數方程：
（3）直線過點m,傾斜角為的引數方程：即，
即注：，據銳角三角函式定義，t幾何意義是有向線段的數量；
如：將引數方程為引數化為普通方程為將代入即可，但是；
4. 極座標和直角座標互化公式： 或，θ的象限由點(x,y)所在象限確定.
（1）它們互化的條件則是：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合.
（2）將點變成直角座標，也可以根據幾何意義和三角函式的定義獲得。
5. 極座標的幾個注意點：
（1）極座標和直角座標轉化的必要條件是具有共同的座標原點(極點) 如：已知圓的引數方程為 （為引數），若是圓與軸正半軸的交點，以圓心為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，求過點的圓的切線的極座標方程。
如：已知拋物線，以焦點f為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，求拋物線的極座標方程。即。
（2）對極座標中的極徑和引數方程中的引數的幾何意義認識不足
如：已知橢圓的長軸長為6，焦距,過橢圓左焦點f1作一直線，交橢圓於兩點m、n，設,當α為何值時，mn與橢圓短軸長相等？
（3）直角座標和極座標一般不要混合使用：如：已知某曲線的極座標方程為。（1）將上述曲線方程化為普通方程；（2）若點是該曲線上任意點，求的取值範圍。
（二）基本計算
1.求點的極座標：有序實數實數對,叫極徑，叫極角；如：點的直角座標是，則點的極座標為提示：都是點的極座標.
2. 求曲線軌跡的方程步驟： （1）建立座標系；（2）在曲線上取一點p；（3）寫出等式；（4）根據幾何意義用表示上述等式，並化簡（注意：
）；（5）驗證。如：長為的線段，其端點在軸和軸正方向上滑動，從原點作這條線段的垂線，垂足為，求點的軌跡的極座標方程（軸為極軸），再化為直角座標方程.
解：設點的極座標為，則，且，，∴點
的軌跡的極座標方程為.由可得，
∴其直角座標方程為.
3.求軌跡方程的常用方法：
⑴直接法：直接通過建立、之間的關係，構成,是求軌跡最基本的方法.
⑵待定係數法：可先根據條件設所求曲線的方程,再由條件確定其待定係數,代回方程
⑶代入法(相關點法或轉移法). 如：從極點作圓的弦,求各弦中點的軌跡方程.解:設所求曲線上的動點的極座標為,圓上的動點的極座標為由題設可知, ,將其代入圓的方程得:.
⑷定義法：如果能夠確定動點軌跡滿足某已知曲線定義,則可由曲線定義直接寫出方程.
⑸交軌法(引數法)：當動點座標之間的關係不易直接找到,也沒有相關動點可用時,可考慮將、均用一中間變數(引數)表示,得引數方程,再消去引數得普通方程.
4.引數和極徑的幾何意義的運用：表示om的長度；t幾何意義是有向線段的數量；如：
已知過點的直線與軸正半軸、軸正半軸分別交於a b兩點，則ab最小值為提示：設傾斜角為，則或ab=，，則， 令，所以，，注意：本題可以取傾斜角的補角為如過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，交拋物線於兩點，求線段的長度.
解：對此拋物線有，所以拋物線的極座標方程為，兩點的極座標分別為和，， ，
∴.∴線段的長度為16.
5.引數方程的應用----求最值： 如：已知點是圓上的動點，（1）求的取值範圍；（2）若恒成立，求實數的取值範圍。.（2）.
如：在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值.解：設橢圓的引數方程為， 當，即時，，此時所求點為.
c.選修4 – 4 引數方程與極座標
已知極座標系的極點與直角座標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合。若曲線c1的方程為，曲線c2的方程為。
（1）將c1的方程化為直角座標方程；
（2）若c2上的點q對應的引數為，p為c1上的動點，求pq的最小值。
提示：（1）．
（2）當時，得，點到的圓心的距離為，所以的最小值為．
在極座標系中，求經過三點o(0，0)，a(2，)，b(，)的圓的極座標方程．
解：設是所求圓上的任意一點，則， 故所求的圓的極座標方程為．
已知極座標系的極點與直角座標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合.若直線的極座標方程為.
（1）把直線的極座標方程化為直角座標系方程；
（2）已知為橢圓上一點（已知曲線c的引數方程為，）求到直線的距離的最大值.
解：（1）直線l的極座標方程，則，
即，所以直線l的直角座標方程為；
（2）p為橢圓上一點，設，其中，
則p到直線l的距離，其中
所以當時，的最大值為
在極座標系中，圓的方程為，以極點為座標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角座標系，直線的引數方程為（為引數），判斷直線和圓的位置關係．
解：消去引數，得直線的直角座標方程為；即，
兩邊同乘以得，得⊙的直角座標方程為：,
圓心到直線的距離，所以直線和⊙相交．
已知曲線的極座標方程是，直線的引數方程是（為引數）．
（1）將曲線的極座標方程化為直角座標方程；
（2）設直線與軸的交點是,是曲線上一動點,求的最大值.
解：（1）曲線的極座標方程可化為
又,所以曲線的直角座標方程為
（2）將直線l的引數方程化為直角座標方程,得
令,得,即點的座標為(2,0).
又曲線為圓，圓的圓心座標為(1,0)，半徑，則所以
極座標及引數方程知識點
1 伸縮變換 設點是平面直角座標系中的任意一點，在變換的作用下，點對應到點，稱為平面直角座標系中的座標伸縮變換，簡稱伸縮變換。2.極座標系的概念 在平面內取乙個定點，叫做極點 自極點引一條射線叫做極軸 再選定乙個長度單位 乙個角度單位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆時針方向 這樣就建立了乙個極座標...
引數方程和極座標 板塊一 引數方程 學生版
例1 曲線 為引數 的普通方程為 ab cd 例2 將引數方程 為引數 化成普通方程為 例3 若直線 為引數 與直線 為引數 垂直，則 例4 若直線 為引數 與直線垂直，則常數 例5 若直線與圓 為引數 沒有公共點，則實數的取值範圍是 例6 在平面直角座標系中，直線的引數方程為 引數 圓的引數方程為...
引數方程和極座標 板塊二 極座標 學生版
例1 在平面直角座標系中，點的直角座標為 若以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，則點的極座標可以是 a b c d 例2 在平面直角座標系中，點的座標為，若取原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極座標系，則在下列選項中，不是點極座標的是 a b c d 例3 已知圓的極座標方程為，則圓心的直角座標...