智立方教育第一章一元一次不等式和一元一次不等式組
一. 不等關係
1. 一般地,用符號「<」(或「」), 「>」(或「」)連線的式子叫做不等式.
2. 區別方程與不等式：方程表示是相等的關係，不等式表示是不相等的關係。
3. 準確「翻譯」不等式,正確理解「非負數」、「不小於」等數學術語.
非負數大於等於0(0) 0和正數不小於0
非正數小於等於0(0) 0和負數不大於0
二. 不等式的基本性質
1. 掌握不等式的基本性質,並會靈活運用:
(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同乙個整式,不等號的方向不變,即:
如果a>b,那麼a+c>b+c, a-c>b-c.
(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同乙個正數,不等號的方向不變,即
如果a>b,並且c>0,那麼ac>bc,.
(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同乙個負數,不等號的方向改變,即:
如果a>b,並且c<0,那麼ac2. 比較大小:(a、b分別表示兩個實數或整式) 一般地:
如果a>b,那麼a-b是正數;反過來,如果a-b是正數,那麼a>b;
如果a=b,那麼a-b等於0;反過來,如果a-b等於0,那麼a=b;
如果a即:a>b a-b>0 a=b a-b=0 a (由此可見,要比較兩個實數的大小,只要作差即可)
例下列各式一定成立的是( )
a．7a﹥4a b. a﹥-ac. a+1﹥a－1 d. a≤a2
例若a﹥b,且a、b同號，以下不等式中一定成立的有
① a2﹥b2 ② a3＜b3 ③ 1/a＜1/b ④a/b﹥1
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
三. 不等式的解集:
1. 能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解;乙個不等式的所有解,組成這個不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.
2. 不等式的解可以有無數多個,一般是在某個範圍內的所有數,與方程的解不同.
3. 不等式的解集在數軸上的表示:
用數軸表示不等式的解集時,要確定邊界和方向:
①邊界:有等號的是實心點,無等號的是空心圓圈;②方向:大向右,小向左
四. 一元一次不等式:
1. 只含有乙個未知數,且含未知數的式子是整式,未知數的次數是1. 像這樣的不等式叫做一元一次不等式.
2. 解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似,特別要注意,當不等式兩邊都乘以乙個負數時,不等號要改變方向.
3. 解一元一次不等式的步驟:
①去分母;②去括號;③移項;④合併同類項;⑤係數化為1(不等號的改變問題)
4. 一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax①當a>0時,解為;②當a=0時,且b<0,則x取一切實數;當a=0時,且b≥0,則無解;③當a<0時, 解為;
5. 不等式應用的探索(利用不等式解決實際問題)
列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似,即:
①審: 認真審題,找出題中的不等關係,要抓住題中的關鍵字眼,如「大於」、「小於」、「不大於」、「不小於」等含義;
②設: 設出適當的未知數;
③列: 根據題中的不等關係,列出不等式;
④解: 解出所列的不等式的解集;
⑤答: 寫出答案,並檢驗答案是否符合題意.
例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )
a．x﹥n/mb. 當m﹥0時，x﹥n/m，當m＜0時，x＜-n/m
c．x＜n/md．當m﹥0時，x﹥n/m，當m＜0時，x＜n/m
例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集為x＜1，則a必須滿足的的條件是：
a. a＜0 b. a≤-1 c. a﹥-1 d. a＜-1
例已知關於x的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0的解集為x＜10/7,則ax+b﹥0的解集為
例若不等式組無解，則不等式組的解集是
例水果店進了某中水果1t，進價是7元/kg。售價定為10元/kg，銷售一半以後，為了盡快售完，準備打折**。如果要使總利潤不低於2000元，那麼餘下的水果可以按原定價的幾折**？
例某廠有甲、乙兩種原料配製成某種飲料，已知這兩種原料的維生素c含量及購買這兩種原料的**如下表：
現配製這種飲料10千克，要求至少含有4200單位的維生素c，並要求購買甲、乙兩種原料的費用不超過72元，
（1）設需用千克甲種原料，寫出應滿足的不等式組。
（2）按上述的條件購買甲種原料應在什麼範圍之內？
五. 一元一次不等式組
1. 定義: 由含有乙個相同未知數的幾個一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.
2. 一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個不等式組無解.
幾個不等式解集的公共部分,通常是利用數軸來確定.
3. 解一元一次不等式組的步驟:
(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集;
(2)利用數軸求出這些解集的公共部分,即這個不等式組的解集.
兩個一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實數,且a例如果不等式組的解集是x﹥-1，那麼m的值為( )
a -3b 3 c –1 d –3 或-1
例關於x的不等式組有四個整數解，則a的取值範圍是( )
a. -11/4＜a ≤-5/2 b .-11/4≤a＜-5/2 c. –11/4≤a≤-5/2 d.-11/4＜a＜-5/2
第二章分解因式
一. 分解因式
1. 把乙個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.
2. 因式分解與整式乘法是互逆關係。因式分解與整式乘法的區別和聯絡:
(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為乙個多項式;
(2)因式分解是把乙個多項式化為幾個因式相乘.
例下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（ ）
(a)(a+3)(a-3)=a2-9b)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1
(c)a2b+ab2=ab(a+bd)x2+1=x(x+)
二. 提公因式法
1. 如果乙個多項式的各項含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.
如: 2. 概念內涵:(1)因式分解的最後結果應當是「積」;(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;(3)提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律,即:
3. 易錯點:
(1)注意項的符號與冪指數是否搞錯;(2)公因式是否提「乾淨」;
(3)多項式中某一項恰為公因式,提出後,括號中這一項為+1,不能漏掉.
例下列各式的因式分解中正確的是（ ）
(a)-a2+ab-ac= -a(a+b-c) (b)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)
(c)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) (d) xy2+x2y=xy(x+y)
分解因式 （1）a2(x-2a)2-a(2a-x)3
（2）-3ma3+6ma2-12ma
三. 運用公式法
1. 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.
2. 主要公式:
(1)平方差公式:
(2)完全平方公式:
3. 因式分解要分解到底. 如就沒有分解到底.
4. 運用公式法:
(1)平方差公式: ①應是二項式或視作二項式的多項式;②二項式的每項(不含符號)都是乙個單項式(或多項式)的平方;③二項是異號.
(2)完全平方公式:①應是三項式;②其中兩項同號,且各為一整式的平方;
③還有一項可正負,且它是前兩項冪的底數乘積的2倍.
5. 因式分解的思路與解題步驟:
(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過分組後提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;
(4)因式分解的最後結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;
(5)因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數範圍內不能再分解為止.
例下列多項式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(a)-a2+b2 (b)-x2-y2 (c)49x2y2-z2 (d)16m4-25n2p2
例下列多項式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
(a) (b) (c) (d)
例將xn-yn分解因式的結果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為 .
例已知(4x+y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2+xy2的值.
例計算的值是
四. 分組分解法:
1. 分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.
如:2. 概念內涵:分組分解法的關鍵是如何分組,要嘗試通過分組後是否有公因式可提,並且可繼續分解,分組後是否可利用公式法繼續分解因式.
3. 注意: 分組時要注意符號的變化.
第三章分式
一. 分式
1. 兩個整數不能整除時,出現了分數;類似地,當兩個整式不能整除時,就出現了分式. 整式a除以整式b,可以表示成的形式.
如果除式b中含有字母,那麼稱為分式,對於任意乙個分式,分母都不能為零.
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北師大版八年級下數學複習
第一章一元一次不等式和一元一次不等式組 要點1 不等式的概念及分類 一般地，用符號 或 或 連線的式子叫做不等式。不等式分類 1 絕對不等式。無論在什麼條件下不等式都成立。2 條件不等式。只有在一定條件下不等式才能成立。3 矛盾不等式。無論在什麼條件下不等式都不成立。要點2 常見不等式的基本語言 1...