第一章一元一次不等式和一元一次不等式組
※要點1 不等式的概念及分類
一般地，用符號「＜」（或「≤」），「＞」（或「≥」），≠，連線的式子叫做不等式。
不等式分類：
(1) 絕對不等式。無論在什麼條件下不等式都成立。
(2) 條件不等式。只有在一定條件下不等式才能成立。
(3) 矛盾不等式。無論在什麼條件下不等式都不成立。
※要點2 常見不等式的基本語言
(1) 若x____0，則x是正數。(2) 若x____0，則x是負數。 (3) 若x____0, 則x是非負數。
(4) 若x____0，則x是非正數。 (5) 若x－y___0，則x大於y。(6) 若x－y___0，則x小於y。
(7) 若x－y_____0，則x不小於y。 (8) 若x－y_____0，則x不大於y。
(9) 若xy___0（或），則x，y同號。(10) 若xy_____0（或），則x，y異號。
※要點3 不等式的基本性質及其他性質
基本性質
(1) 不等式的兩邊都加上（或減去）同乙個整式，不等號方向不變。
(2) 不等式的兩邊都乘以（或除以）同乙個正數，不等號方向不變。
(3) 不等式的兩邊都乘以（或除以）同乙個負數，不等號方向要改變。
其他性質
(1) 若a＞b，則b＜a2) 若a＞b，且b＞c，則a＞c；
(3)若a≥b，且b≤a，則a＝b； (4) 若a2≤0，則a＝0。
★說明：不等式的基本性質也是不等式的同解原理。
※要點4 不等式的解和不等式的解集以及它們的區別與聯絡
能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。（能使不等式成立的未知數的某個值）
乙個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集。（能使不等式成立的未知數的所有值）
※要點5 在數軸上表示不等式的解集（用以下口訣便於記憶）
大於向右畫，小於向左畫，有等號的畫實心，無等號的畫空心。
※要點6 不等式的一般解題步驟
6.1 解不等式的步驟:1、去分母; 2、去括號; 3、移項合併同類項; 4、係數化為1
6.2解不等式組的步驟:1、解出不等式的解集2、在同一數軸表示不等式的解集
6.3列一元一次不等式組解實際問題的一般步驟：
（1） 審題；（2）設未知數，找（不等量）關係式；（3）設元，(根據不等量)關係式列不等式(組)（4）解不等式組；檢驗並作答。
※要點7 解不等式的通法與技巧
一、湊整法
例1．解不等式。
分析：根據不等式性質，兩邊同乘以適當的數，將小數轉化為整係數。
解：兩邊同乘以-4，得x+30<-2-x.
∴ x<-16.
二、化分母為整數
例2．解不等式。
分析：根據分數基本性質，將兩邊分母化成整數。
解：原不等式變形，得 8x-3-(25x-4)>15-10x.
∴ -7x>14. 即x<-2.
三、裂項法
例3．解不等式。
分析：本題若採用去分母法，步驟較多，由除法意義，裂項相合併，過程簡潔。
解：原不等式變形，得。
移項、合併，得。
四、整體處理法
例4．解不等式。
解：視「3x-2」為乙個整體，
變形，得，
移項合併，將，
∴ 。※要點8 解不等式組的通法與技巧
一、化簡不等式（組），比較列式求解
例1．若不等式的解集為，求k值。
解：化簡不等式，得x≤5k，比較已知解集，得，∴。
例2．（2023年山東威海市中考題）若不等式組的解集是x>3，則m的取值範圍是（ ）。
a、m≥3 b、m=3 c、m<3 d、m≤3
解：化簡不等式組，得，比較已知解集x>3，得3≥m, ∴選d。
例3．（2023年重慶市中考題）若不等式組的解集是-1 解：化簡不等式組，得
∵ 它的解集是-1 ∴ 也為其解集，比較得
∴(a+1)(b-1)=-6.
評述：當一次不等式（組）化簡後未知數係數不含引數（字母數）時，比較已知解集列不等式（組）或列方程組來確定引數範圍是一種常用的基本技巧。
二、結合性質、對照求解
例4．（2023年江蘇鹽城市中考題）已知關於x的不等式(1-a)x>2的解集為，則a的取值範圍是（ ）。
a、a>0 b、a>1 c、a<0 d、a<1
解：對照已知解集，結合不等式性質3得：1-a<0, 即a>1，選b。
例5．（2023年湖北荊州市中考題）若不等式組的解集是x>a，則a的取值範圍是（）。
a、a<3 b、a=3 c、a>3 d、a≥3
解：根確定不等式組解集法則：「大大取較大」，對照已知解集x>a,得a≥3, ∴選d。
變式（2023年重慶市初數賽題）關於x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是，則關於x的不等式ax+b<0的解集為______。
三、利用性質，分類求解
例6．已知不等式的解集是，求a的取值範圍。
解：由解集得x-2<0,脫去絕對值號，得
。當a-1>0時，得解集與已知解集矛盾；
當a-1=0時，化為0·x>0無解；
當a-1<0時，得解集與解集等價。
∴例7．若不等式組有解，且每乙個解x均不在-1≤x≤4範圍內，求a的取值範圍。
解：化簡不等式組，得
∵它有解，∴ 5a-6<3aa<3；利用解集性質，題意轉化為：其每一解在x<-1或x>4內。
於是分類求解，當x<-1時，得，
當x>4時，得4<5a-6a>2。故或2 評述：(1)未知數係數含引數的一次不等式，當不明確未知數係數正負情況下，須得分正、零、負討論求解；對解集不在a≤x 四、借助數軸，分析求解
例8．（2023年山東聊城中考題）已知關於x的不等式組的整數解共5個，則a的取值範圍是
解：化簡不等式組，得有解，將其表在數軸上，
如圖1，其整數解5個必為x=1,0,-1,-2,-3。由圖1得：-4 變式:(1)若上不等式組有非負整數解，求a的範圍。
(2)若上不等式組無整數解，求a的範圍。(答：(1)-11)
例9．關於y的不等式組的整數解是-3，-2，-1，0，1。求引數t的範圍。
解：化簡不等式組，得其解集為
借助數軸圖2得
化簡得 , ∴ 。
評述：不等式(組)有特殊解(整解、正整數解等)必有解(集)，反之不然。圖2中確定可動點4、b的位置，是正確列不等式(組)的關鍵。
※要點9 鏈結中考
中考典例：
1．（天津市）若a>b，則下列不等式一定成立的是（ ）
a、<1 b、>1 c、–a>–b d、a–b>0
考點：不等式的性質
評析：不等式的性質是：不等式兩邊同時加上或減去同乙個數（或整式）不等號不變；不等式兩邊同時乘以或除以正數不等號不變；不等式兩邊同時乘以或除以乙個負數，不等號的方向改變。
因此a＞b，所以a、b均可為負數也可為正數，所以a、b選項都不對，c選項不等號的方向沒改變，所以也不對，因a＞b，（a、b代表的是任意數）所以根據不等式的性質運用排除法，可知正確選項為d。
（龍巖市、寧德市）不等式2x+10＞3的解集是 。
考點：不等式的解集
評析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知數的值組成的集合。該題可用不等式的性質兩邊同時減10，然後兩邊再除以2，求得解集為x>。
真題專練
1．（北京海淀區）比較大小：當實數a<0時，1+a 1–a(填「<」或「>」)
2．（廣東省）已知實數a、b滿足ab＞0，a+b＜0，則滿足條件的實數a、b可分別為 (寫出滿足條件的兩個數即可)。
3．（北京西城區）如果a＞b，那麼下列結論中錯誤的是（ ）
a、a–3＞b–3 b、3a＞3b c、＞ d、–a＞–b
4．（北京海淀區）若a–b＜0，則下列各式中一定正確的是（ ）
a、a＞b b、ab＞0 c、 d、–a＞–b
5．（天津市）若a＞b，且c為實數則下列各式正確的是（ ）
a、ac＞bc b、ac＜bc c、ac2＞bc2 d、ac2≥bc2
6．（荊門市）已知a、b、c是有理數，且a＞b＞c，那麼下列式子正確的是（ ）
a、a+b＞b+c b、a–b＞b–c c、ab＞bc d、
7．（石家莊市）不等式–6x＞4的解集是（ ）
a、x＞ b、x＜ c、x＞ d、x＜
8．（宜昌市）如果不等式（a–1）x＞a–1的解集是x＜1，則a的取值範圍是（ ）
9．（徐州市）不等式5x–4＜6x的解集是 。
10．（西安市）若代數式3x+4的值不大於0，則x的取值範圍是（ ）
a、x＜ b、x≥ c、x≤- d、x＜–
答案：1、< 2、–1，–2 3、d 4、d
5、d（提示：按c＞0、c=0、c＜0三種情況討論）
6、a（提示：a、b、c是任意有理數，所以c、d不對，當c是負數或0時b不對，因a＞c故a+b＞b+c）
7、b；8、a＜1（提示：因為不等號的方向改變了，所以a–1＜0，即a＜1）；
9、x＞–4；10、c（提示：3x+4的值不大於0，即得不等式3x+4≤0）
本章綜合檢測題
北師大版八年級下數學總複習
八年級數學總複習姓名 一 不等式 一 不等式基礎知識 1.如果a2.如果a3.a 0時，a a當a 0時，a a 4.如果a 0,且ab 0,那麼b 0.5.若a6.若，則3a 3b.7.若x 1，則x 8.不等式的非正整數解為 9.適合1 x 3的整數解有 個.10 不等式x 2的非負整數解有 a...
期中複習 北師大版八年級下
期中複習 1 x的2倍與3的差不小於0 用不等式表示為 2 當x時，分式有意義。3 4 不等式的正整數解是 5.不等式的解集是 6.分解因式 7 點c為線段ab上一點，ac 2，bc 3，則ab ac 8 9.已知 10 已知 則 11 等腰直角三角形中，一直角邊與斜邊的比是 12 小明用100元錢...
八年級數學下 北師大版 期中試卷
2015 2016學年度第二學期八年級數學 北師大版 期中測試卷 二 一 選擇題 每題3分，共36分 1.下列各式從左到右，是因式分解的是 a a 3 a 3 a2 9b x2 x 5 x 2 x 3 1 c a2b ab2 ab a bd x2 1 x x 2.下列多項式中，能用公式法進行因式分解...