一元二次方程根與係數的關係習題
一、單項選擇題：
1．關於的方程中，如果，那麼根的情況是（ ）
（a）有兩個相等的實數根 （b）有兩個不相等的實數根
（c）沒有實數根d）不能確定
2．設是方程的兩根，則的值是（ ）
（a）15 （b）12 （c）6 （d）3
3．下列方程中，有兩個相等的實數根的是（ ）
（a） 2y2+5=6y（b）x2+5=2x（c）x2－x+2=0（d）3x2－2x+1=0
4．以方程x2＋2x－3＝0的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是（ ）
（a） y2+5y－6=0 （b）y2+5y＋6=0 （c）y2－5y＋6=0 （d）y2－5y－6=0
5．如果x1，x2是兩個不相等實數，且滿足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，那麼x1·x2等於（ ）
（a）2 （b）－2 （c）1 （d）－1
二、填空題：
1、如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有兩個相等的實數根，那麼k＝
2、如果關於x的方程2x2－(4k+1)x＋2k2－1＝0有兩個不相等的實數根，那麼k的取值範圍是
3、已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，（x1－x2）2＝
4、若關於x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的兩個根互為倒數，則m＝ .
5、當m時，方程x2+mx+4=0有兩個相等的實數根；
當m時，方程mx2+4x+1=0有兩個不相等的實數根；
6、已知關於x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有乙個根為0，則m= ，這時方程的另乙個根是 ；若兩根之和為－，則m= ，這時方程的兩個根為 .
7、如果x2－2(m+1)x+m2+5是乙個完全平方式，則m= ;
8、方程2x(mx－4)=x2－6沒有實數根，則最小的整數m= ;
9、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)兩根的和與兩根的積相等，則m= ;
10、設關於x的方程x2－6x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為 ;
11、若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有實數根，則m的取值範圍是
12、一元二次方程x2+px+q=0兩個根分別是2+和2－，則p= ,q= ;
13、已知方程3x2－19x+m=0的乙個根是1，那麼它的另乙個根是 ，m= ;
14、若方程x2+mx－1=0的兩個實數根互為相反數，那麼m的值是 ;
15、m,n是關於x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個實數根，則代數式mn
16、已知方程x2－3x+1=0的兩個根為α,β，則
17、如果關於x的方程x2－4x+m=0與x2－x－2m=0有乙個根相同，則m的值為 ;
18、已知方程2x2－3x+k=0的兩根之差為2，則k= ;
19、若方程x2+(a2－2)x－3=0的兩根是1和－3，則a= ;
20、若關於x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有兩個實數根，且這兩個根互為倒數，那麼m的值為
已知關於x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0兩根互為倒數，則a
21、如果關於x的一元二次方程x2+x+a=0的乙個根是1－，那麼另乙個根是 ，a的值為 。
22、如果關於x的方程x2+6x+k=0的兩根差為2，那麼k
23、已知方程2x2+mx－4=0兩根的絕對值相等，則m
24、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的兩根為0和－1，則q∶p
25、已知方程3x2+x－1=0，要使方程兩根的平方和為，那麼常數項應改為
26、已知方程x2+4x－2m=0的乙個根α比另乙個根β小4，則m= 。
27、已知關於x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的兩根為x1、x2，且，則m= 。
28、關於x的方程2x2－3x+m=0，當時，方程有兩個正數根；當m 時，方程有乙個正根，乙個負根；當m時，方程有乙個根為0。
三、解答下列各題：
1、已知3－是方程x2+mx+7=0的乙個根，求另乙個根及m的值。
2、m取什麼值時，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0
（1） 有兩個不相等的實數根，（2）有兩個相等的實數根，（3）沒有實數根；
3、求證：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0沒有實數根。
4、求證：不論k為何實數，關於x的式子(x－1)(x－2)－k2都可以分解成兩個一次因式的積。
5、取什麼實數時，二次三項式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分解.
6、已知a是實數，且方程x2+2ax+1=0有兩個不相等的實根，試判別方程x2+2ax+1－(a2x2－a2－1)=0有無實根？
7、已知關於x的方程兩根相等，方程的乙個根是另乙個根的3倍。求證：方程一定有實數根。
8、已知方程的兩根之比為2∶3，方程的兩根相等(mn≠0)。求證：對任意實數k，方程恒有實數根。
9、設x1,x2是方程2x2+4x－3=0的兩根，利用根與係數關係求下列各式的值：
(1) (x1+1)(x2+1) (2) （3）+ （4）x12+ x1x2+2x1
10、設方程4x2－7x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值:
(1) x12+x222)x1－x2 （3） （4）｜x1－x2｜
11、已知是方程2x2+3x－1=0的兩個根，利用根與係數的關係，求下列各式的值：
(12)
12、實數ｓ、ｔ分別滿足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代數式的值。
13、設：3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。
14、已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，求(a－1)(b－1)的值。
15、已知m2+m－4=0，，m，n為實數，且，求代數式的值
16已知2s2+4s－7=0，7t2－4t－2=0，s，t為實數，且st≠1。求下列各式的值：
(12)。
17、已知關於x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等於6，求k的值;
18、方程x2+3x+m=0中的m是什麼數值時，方程的兩個實數根滿足：(1)乙個根比另乙個根大2；(2)乙個根是另乙個根的3倍；(3)兩根差的平方是17
19、已知a,b,c是三角形的三邊長，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個相等的實數根，求證：這個三角形是正三角形
20、已知關於x的方程的兩個根是斜邊長為5的直角三角形的兩條直角邊的長，求這個直角三角形的面積。
21、關於x的一元二次方程的兩實根之和等於兩個實根的倒數和，求m的值。
22、是否存在實數，使關於的方程的兩個實根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請說明理由。
23、已知關於x的方程的兩根滿足關係式，求m的值及兩個根。
24、α、β是關於x的方程的兩個實根，並且滿足，求m的值。
25、已知一元二次方程，根據下列條件，分別求出m的值：
(1)兩根互為倒數；(2)兩根互為相反數；(3)有一根為零；(4)有一根為1；(5)兩根的平方和為。
26、已知方程和有乙個相同的根，求m的值及這個相同的根。
27、已知關於x的二次方程有實數根，且兩根之積等於兩根之和的2倍，求a的值。
28、已知方程有兩個不相等的正實根，兩根之差等於3，兩根的平方和等於29，求b、c的值。
29、已知一元二次方程，且4k+1是腰長為7的等腰三角形的底邊長，求：當k取何整數時，方程有兩個整數根。
30、已知是關於x的方程的兩根，是關於x的方程的兩根，求常數p、q的值。
31、已知是關於x的方程的兩個實數根；是關於y的方程的兩個實數根，且，求m、n的值。
32、關於x的方程，其中m、n分別是乙個等腰三角形的腰長和底邊長。
(1)求證：這個方程有兩個不相等的實根；
(2)若方程兩實根之差的絕對值是8，等腰三角形的面積是12，求這個三角形的周長。
33、在解方程時，小張看錯了p，解得方程的根為1與－3；小王看錯了q，解得方程的根為4與－2。這個方程的根應該是什麼?
34、已知方程的兩根為，且，又知根的判別式=25，求a，b 的值。
35、已知x1，x2是一元二次方程的兩個實數根，且，求m和n的值。
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