函式的單調性（增減性）是函式的基本性質之一，是高中數學必須掌握且能熟練運用的基礎知識。函式中函式值的變化方向與自變數的變化方向密切相關，當自變數的變化方向與函式值的變化方向一致時，函式圖象（曲線）是下降的，或者說是遞減的；反之，是上公升的，或者說是遞增的，函式的這種性質稱為單調性。函式的單調性是函式在某個區間或整個定義域上的性質。
利用函式的單調性可以求函式在某個區間上的最大（小）值、可以比較兩個或多個函式值的大小、還可以解不等式及判斷函式在某個區間內的零點個數。但在解決這些問題之前必須確定函式的單調性，即函式在定義域區間內是增函式還是減函式。下面介紹幾種判斷函式增減性的方法。
一、利用函式單調性的定義判別
設函式f（x）的定義域為i：
如果對於定義域i內某個區間a上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1＜x2時，都有 ，那麼就說函式f（x）是區間a上的函式。
在此定義中必須注意：
1.證明函式的單調性，必須嚴格按照單調性的定義進行，x1，x2具有三個特徵：一是任意性，也就是說，x1，x2是任取的，證明單調性時不能用兩個特殊值隨意替換x1，x2；二是x1，x2有大小，通常規定x1＜x2；三是x1，x2同屬乙個單調區間。
此三者缺一不可。
2.這個區間a可以是定義域i本身，也可以是定義域i的某個真子集。
3.不是所有的函式都具有單調性。
如函式 ，它的定義域為r，但不具備單調性；又如y＝3x+2，x∈n+，它的定義域不是區間，也不能說它在定義域上具有單調性。
二、利用函式值與自變數的變化趨勢判別或利用函式圖象的「走勢」判別
當函式值與自變數的變化趨勢時，函式為函式。
函式圖象（曲線）「從左到右走坡路」，函式為函式。
三、利用函式單調性的運算性質判別
若函式f（x），g（x）在定義域區間a上具有單調性，則在區間a上具有下列性質：
①f（x）與f（x）+c（c為常數）具有相同的單調性；
②當a＞0時，f（x）與af（x）具有相同的單調性；當a＜0時，f（x）與af（x）具有相反的單調性；
③若f（x）恆不等於零，當k＞0時，f（x）與具有相反的單調性；單k＜0時，f（x）與具有相同的單調性；
④當f（x）與g（x）都是函式時，則f（x）+g（x）也是函式；
⑤若f（x）與g（x）都是函式時。
當f（x）＞0且g（x）＞0時，則f（x） g（x）是函式；
當f（x）＜0且g（x）＜0時，則f（x） g（x）是函式，。
例判斷函式f（x）=5x3－ 在（0，+∞）上的單調性。
解：∵5x3在（0，+∞）上是增函式；－ 在（0，+∞）上是增函式。
∴f（x）=5x3－ 在（0，+∞）上也是增函式。
四、利用函式奇（偶）性的對稱性質判別
因為函式的圖象關於成圖形，所以函式在原點兩側的對稱區間上具有的單調性。即函式f（x）在區間[a，b]與[-b，-a]上的單調性 。（0≤a＜b或a＜b≤0）
例1例2 設f（x）在r上是偶函式，在區間（－∞，0）上遞增，且有f（2a2+a+1）＜f（2a2-2a+3），求a的取值範圍。
解：∵f（x）在r上是偶函式，在區間（－∞，0）上遞增。
∴f（x）在區間（0，+∞）上遞減。
點評：解此題的關鍵是根據2a2+a+1＞0，2a2-2a+3＞0恆成立的性質，必須確定f（x）在（0，+∞）上的單調性，而偶函式f（x）在原點兩側的對稱區間（－∞，0）與（0，+∞）上的單調性相反。
五、復合函式單調性的判斷
1.若乙個復合函式由多個初等函式復合而成，則這個復合函式的單調性由復合成此函式的這多個初等函式中減函式的個數決定：當初等函式中減函式的個數為奇數時，復合函式為減函式；當初等函式中減函式的個數為偶數時，復合函式為增函式。
即「偶增奇減」
2.當復合函式y=f[g（x）]由兩個初等函式y=f（u），u=g（x）復合而成時，其單調性為：當y=f（u），u=g（x）同為增函式或同為減函式時，y=f[g（x）]為增函式：
當y=f（u），u=g（x）為一增函式一減函式時，y=f[g（x）]為減函式。即「同增異減」
列表如下：
例求函式y=log2（x2+3x+2）的單調性
解：由x2+3x+2＞0得x＜—2或x＞—1
∴函式定義域為（－∞，—2）∪（—1，+∞）
又∵y=log2（x2+3x+2）由函式y=log2u（u＞0）與u=x2+3x+2（x＜—2或x＞—1）復合而成
當x∈（－∞，—2）時，u=x2+3x+2為減函式，也滿足u＞0，y=log2u為增函式。
則y=log2（x2+3x+2）為減函式；
當x∈（—1，+∞）時，u=x2+3x+2為增函式，也滿足u＞0，y=log2u為增函式。
則y=log2（x2+3x+2）為增函式。
∴y=log2（x2+3x+2）的單調遞減區間為（－∞，—2）；單調遞增區間為（—1，+∞）
六、導函式的應用
設函式y=f（x）在區間（a，b）內可導
① 如果恒有f`（x）＞0，則函式f`（x）在（a，b）上為增函式；
② 如果恒有f`（x）＜0，則函式f`（x）在（a，b）上為減函式；
③ 如果f`（x）在區間（a，b）上遞 ，則在該區間上有 。
求可導函式的單調區間：
①求f`（x） ②解不等式 ③確定結論： 的解集為單調遞區間。
注意：當f`（x）在某個區間內個別點處為零，在其餘各點處都為時，f`（x）在這區間上仍是單調遞的，但是並不是f`（x）為函式的充分條件，而是必要條件。
例設f`（x）=ax+ （a＞0）
①判斷f`（x）在（0，+∞）上的單調性；
②設f`（x）在0＜x≤1上的最小值為g（a），求y=g（a）的解析式。
（作者單位：雲南省鎮雄縣實驗中學）
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