構造對偶式的八種途徑
在數學解題過程中,合理地構造形式相似，具有某種對稱關係的一對對偶關係式，並通過對這對對偶關係式進行適當的和,差,積等運算，往往能使問題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果。下面通過例項來談談構造對偶式的八種途徑。
一． 和差對偶
對於表示式，我們可構造表示式作為它的對偶關係式。
例１若，且，求的值。
解析：構造對偶式：
則得再由，得：。
點評：這種構造對偶式的方法靈巧，富有創意，有助於培養學生的創新思維和創造能力。
例２已知：，且，
求證：。
解：則有：
又，故，即原不等式成立。
點評：這個對偶式構造得好！它的到來一下子使問題冰消融了。解法自然，樸素，過程簡潔，運算輕鬆！
例３解方程：
解：構造對偶式：，再由原方程聯立可解得：
那麼得：
得：，即，
代入（３）中得：，
整理得：， 解得：。
二． 互倒對偶
互倒對偶是指針對式子的結構，通過對式中的某些元素取倒數來構造對偶式的方法。
例４若，求證：。
解：設,
構造對偶式：，則
而，故，即。
例５設為互不相等的正整數，
求證：。
解：設ｍ＝，構造對偶式：
則 又為互不相等的正整數，所以，因此。
點評：解題時巧妙構思，對其構造了「意料之中」的對偶式，化新為舊，等價轉化，完成對難點的突破，以達化解問題這目的。
例６已知對任意總有，求函式的解析式。
解析：因 ①
用替代上式中的，構造對偶式： ②
由①－②×２得：
故。三． 共軛對偶
共軛對偶是反映利用共軛根式或共軛複數來構造對偶式的方法。
例７已知，解方程：。
解析：由
構造對偶式
由①－②得，代入②得，
故或。例８若，已知且，證明：為純虛數。
解：設ｍ＝，則，構造對偶式：ｎ＝
則ｍ＋ｎ＝＋＝０（因為）
又（因為）
∴為純虛數。
例９已知：，且，求證：。
證明：設ｍ＝，構造對偶式：ｎ＝
∵∴，即原不等式成立。
四． 倒序對偶
倒序對偶是指針對式子的結構，通過和式或積式進行倒序構造對偶式的方法。
例１０求和：
解析：觀察和式聯想到，故首先在和式右邊添上一項，則
構造對偶式： ②
即②亦為
由①＋③得： ∴∴
∴點評：利用現成的對偶式，使問題本身變得簡單，便易，如此處理，可謂「勝似閑庭信步」，豈不妙哉！
例１１正項等比數列中，試用ｓ，ｔ表示。∵∴
解析：傳統解法都用表示ｓ，ｔ及ｑ，然後通過和找到ｓ，ｔ，ｑ的等量關係，這種解法雖思路正確，但運算繁瑣，加之在用等比數列求和公式時還要討論和兩種情形，如此解題會陷入漫漫無期的運算之中，很少有人能夠到達終點。其實，觀察和式子與積式特徵不妨採取「本末倒置」構造倒序對偶序式一試。
由題意知
構造倒序對偶式
由①×②得：，即
再來看構造倒序對偶式
即③＋④得：，即。
由等比數列性質可知，右邊的分母均為，故
即，∴又 ∴。
五． 定值對偶
定值對偶是指能利用和，差，積，商等運算產生定值，並藉此構造出對偶式的方法。
例１２已知函式。，
則ｓ＝ 。
解析：發現定值：。
那麼 ①
構造對偶式： ②
由①＋②得：
∴２ｓ＝７，即。
六． 奇偶數對偶
奇偶數對偶指利用整數的分類中奇數與偶數的對稱性構造對偶式的方法。
例１３求證：。
解：設，構造對偶式：。
由於因此，從而
故。例１４求證：
證明：待證不等式的左邊為：。
令： 構造兩個對偶式： ∵∴
∴故原不等式成立。
點評：靈活地選取解題方法，對其構造了「意想不到」的對偶式，從而完成了解答，充分體現了解題技巧。
七． 輪換對偶
輪換對偶是指針對式子的結構，通過輪換字母而構造對偶式的方法。
例１５求證：對任意實數，都有不等式成立。
證明：設構造對偶式，
則，即而，
∴，即。當且僅當時等號成立。
例１６設，求證：。
證明：設，構造對偶式：，
∴。又，即，
∴。八． 互餘對偶
三角中的正弦與余弦是兩個對稱元素，利用互餘函式構造對偶式，借用配對思想可以輕鬆完成有關三角題的解答。
例１７已知，解方程：
解析：若令，構造對偶式：
則由①＋②得：，又∴∴
∴或或。
點評：通過構造對偶式，創設了這一美妙而又能開啟書局面的有利條件，可謂「高招」！
例１８求的值。
解析：令，
構造對偶式：，則∴∴
點評：這是一道比較典型的三角求值題。通過對題目結構特徵的觀察，由目標導向，構造對偶式，從而獨闢蹊徑，出奇制勝。
在數學解題過程中，如果我們恰當地構造對偶關係式，不僅能提高解題速度，而且能收到以簡馭繁，簡縮思維，拓寬思路的功效，同時還讓人萌生一種「春雨斷橋人不渡，小舟撐出綠陰來」的美妙感覺，對於激發學生學習數學的興趣也是大有裨益。
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