南通高等師範學校海門校區（226100） 何軍
「美是真理的光輝」，對科學美的完善和追求常常為發現新的理論、蒙發新的思想提供重要線索和有力手段。同樣，在幾何證明過程中，我們可以運用補美思想，通過延長線段，取中點，作平行線、垂線等多種方法，構造等邊三角形、正方形等完美圖形，充分利用這些基本圖形的美學性質，誘發直覺靈感，發現證題思路，培養創造能力，從而優化幾何證明。下面例談構造完美圖形在幾何證明中的應用。
1 構造等邊三角形
等邊三角形具有三邊相等，三個角都為，重心、垂心、內心、外心四心合一等美學特徵，證明過程中，通過構造等邊三角形，可以充分應用等邊三角形的基本性質，拓展解題思路。
例1 如圖1，中，ab=ac，且。求證：ae=eb+bc。
分析與證明：注意到ab=ac，且，那麼能否構造等邊三角形呢？嘗試延長bc至f，使cf=bd，鏈結af。
∵ab=ac，∴，∴
∴⊿abd≌⊿acf，∴db=cf，且∠d=∠f，又∵∠d=，
∴⊿adf是等邊三角形，∴ad=df。
又∵，∴⊿dbe也是等邊三角形，∴db=be=de，
∴ae=eb+bc
2 構造等腰三角形
等腰三角形具有兩腰相等，兩底角相等，底邊上的中線、頂角的角平分線和底邊上的高合一等美學特徵，證明過程中，可以通過構造等腰三角形發掘解題思路。
例2 如圖2，中，從點a作，的平分線的垂線，垂足分別為p，q。求證： pq∥bc。
分析與證明：注意到已知條件與等腰三角形底邊上的中線、頂角的角平分線和底邊上的高合一等美學特徵類似，能否構造等腰三角形證題呢？
延長aq、ap分別交bc於e、f。
∵∠abp=∠fbp，bp=bp，bp⊥af，
∴rt⊿apb≌rt⊿fpb
∴ab=bf，∴⊿abf為等腰三角形，∴ap=pf，
同理，⊿ace為等腰三角形，aq=qe，∴pq∥bc
3 構造直角三角形
直角三角形具有兩銳角互餘，斜邊上的中線等於斜邊的一半，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方等美學特徵，證明過程中，構造直角三角形有時也可以「柳暗花明又一村」。
例3 如圖3，梯形abcd中，，ad∥bc，設m、n分別為ad、bc的中點。求證：。
分析與證明：注意到條件，嘗試平移ab、cd，即過n作ab、cd的平行線交ad於e、f，構造⊿enf，
∵ab∥en，又bn∥ae，∴四邊形aenb是平行四邊形，
∴ae=bn，∠men=∠a
同理，fd=nc，∠mfn=∠d
∵，∴∠men+∠mfn=，∴⊿enf為直角三角形，
∴4 構造全等三角形
全等三角形具有對應角相等，對應邊相等等美學特徵，證明過程中，通過構造全等三角形可以將看似毫不相干的條件集中起來，實現問題的轉化。
例4 如圖4，以的ab、bc為斜邊向外作等腰直角三角形⊿aeb和⊿bfc，d為ac中點。求證：de=df，de⊥df。
分析與證明：要證de=df，可以由∠def=∠dfe得到，但與已知條件聯絡不上，注意到d為ac中點，能否構造全等三角形尋找解題突破口呢？嘗試取ab、bc的中點g、h ，鏈結eg、dg，dh、hf。
問題在於證⊿edg≌⊿dfh。
∵ad=dc，ch=hb，∴dh∥ab，，
∴∠chd=∠cba
又⊿aeb為等腰直角三角形，ag=gb，
∴eg⊥ab，，∴dh=eg
同理可證，hf=dg，∠agd=∠cba
由①③得，∠agd=∠chd
又⊿bfc為等腰直角三角形，hf⊥bc，
∴∠ega+∠agd=∠fhc+∠chd，即∠egd=∠dhf
∴由②③④得，⊿edg≌⊿dfh，∴de=df，∠hdf=∠ged
又∠fde=∠hdf+∠gdh+∠gde=∠ged+∠agd+∠gde=-=，
∴de⊥df。
5 構造平行四邊形
平行四邊形具有對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分等美學特徵，證題過程中，可以運用平行四邊形的性質實現等量的轉化。
例5 如圖5，在中，m為ab的中點，d為ab上任一點，n、p分別為cd、cb的中點，q為mn的中點，pq與ab相交於e。求證：ae=ed。
分析與證明：要證ae=ed，換種表示方式就是要證e為ad的中點。在中，n是cd的中點，鏈結pn、pm、ne。如果en∥ac，則問題就解決了。又注意到在中，mp∥ac，且，
則只需證四邊形nemp是平行四邊形即可。
∵n、p分別為cd、cb的中點，
∴np∥db，即np∥em，∴，
又，且nq=mq，
∴⊿npq≌⊿meq，∴np=em，
∴四邊形nemp是平行四邊形，∴pm∥ne。
又∵p、m分別是bc、ab的中點，∴pm∥ca，∴ne∥ca，
再又∵n是cd的中點，∴e為ad的中點，即ae=ed。
6 構造矩形
矩形具有平行四邊形的性質，同時還有對角線相等，四個角均為直角等美學特徵，有時可以通過構造矩形，豐富解題途徑。
例6 如圖6，在正方形abcd中，ae=cf，bg⊥ce。求證：dg⊥fg。
分析與證明：延長bg交ad於h；鏈結ch、fd，交點為o，鏈結og。
在正方形abcd中 ∵bg⊥ce，
∴∠abh=∠bce，∴rt⊿abh≌rt⊿bce
∴ah=be，∴hd=ae，又ae=cf，∴hd=cf，∴四邊形cdhf是矩形，
∴oh=oc=od=of，又在rt⊿cgh中，og=oc=oh，
∴og=of=od，∴dg⊥fg。
7 構造正方形
正方形具有四邊相等，四個角都是直角，對角線相等且垂直平分等美學特徵，是完美的四邊形，通過正方形的構造，可以從多角度探尋思路。
例7 如圖7，在⊿abc中，ab=bc，∠abc=，d為bc的中點，在ac上取一點，使∠edc=∠adb，鏈結be。求證：be⊥ad。
分析與證明：看到已知條件，情不自禁地想到正方形中的結論，能否構造正方形呢？過點c作bc的垂線交de的延長線於f，鏈結af。
∵d為bc的中點，∴bd=cd，又∵∠edc=∠adb
∴rt⊿abd≌rt⊿fcd，∴cf=ab且∠bad=∠cfd，
∴四邊形abcf為正方形，
∴bc=cf，且∠acb=∠acf=，又ec=ec，
∴⊿bce≌⊿fce，∴∠cfe=∠cbe，∴∠bad=∠cbe
又∠bad+∠adb=，∴∠cbe+∠adb=，即be⊥ad。
總之， 充分發揮數學美的解題功能，以美造美，加強補美思想在數學教學中的應用,不僅能使學生加深數學美的認識,而且能激發學生的學習興趣，提高學生的數學審美能力,進而讓學生在美感中領悟、探索和發現數學。
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