充要條件是本章的乙個重要內容，也是高考及其他考試的乙個熱點。證明是的充要條件，，即要證明命題「」為真，又要證明命題「」為真，前者證明的是充分性，後者證明的是必要性。以下兩例，供參考。
例1 已知數列的前項和為，是不等於0和1的常數），求證數列為等比數列的充要條件是。
分析：證明充分性就是證明條件能推出結論，證明必要性則是證明結論能推出條件。
證明：（1）先證充分性。
∵，∴。∵，
∴，又∵，，
∴。 故數列是公比為的等比數列。
（2）再證必要性
∵數列為等比數列，
∴。∵，
∴，。∴。
綜上所述，數列為等比數列的充要條件是。
評注：證明充要條件，首先要找到條件和結論，如本題「證明數列為等比數列的充要條件是」說的很明白，條件是，結論是數列為等比數列。充分性和必要性要逐一證明，並有必要的文字說明。
例2 已知，求證：的充要條件是。
分析：本題中是大前提，證明充要條件，即證明既是充分條件又是必要條件，必須證明必要性與充分性都成立。
證明：先證必要性：∵，即，∴，
∴必要性成立。
再證充分性： ∵，
即，∴。
又∵，∴且，從而，
∴，即，
∴充分性也成立。
故時，的充要條件是。
評注：證明充要條件時，要分清充分性是證明怎樣的乙個式子成立，必要性又是證明怎樣的乙個式子成立。
例3 已知方程，求使方程有兩個大於1的根的充要條件。
分析：求充要條件，則推理的各步應是可逆的，是有實根的充要條件。
解析：設方程的兩根為、，使、都大於1的充要條件是
，即。由韋達定理得，解得。
故所求的充要條件為。
評注：「， ，」，但反過來，「， ，」，例如取，有，且，但沒***兩個根都大於1，僅是兩根都大於1的必要條件，而不是充分條件。
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高中數學複習專題講座充要條件的理解及判定方法
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