課時課題：第五章課題學習猜想、證明與拓廣
授課人：棗莊二十八中孫晉芝
課型：新授課
授課時間：2023年11月7日星期三第1節課
教學目標
1．經歷猜想、證明、拓廣的過程,增強問題意識和自主探索意識，獲得探索和發展的新體驗．
2．在問題解決過程中，綜合運用所學的知識，體會知識之間的內在聯絡，形成對數學的整體性認識．
3．在**過程中，感受由特殊到一般、數形結合的思想方法，體會證明的重要性．
4．在合作交流中擴充套件思路，發展推理能力．
5．學會用多種方法解決同乙個問題，並對方法進行優化．
教學重點與難點：
重點：體驗「問題情境—猜想—驗證—發現規律—證明—拓廣」的過程，學習處理問題的策略和方法．
難點：在**過程中,感受由特殊到一般、數形結合的思想方法,體會證明的重要性．
教法與學法指導：
本節課是在學生學習了證明（一）（二）（三）、一元二次方程、反比例函式等知識後的一節**性活動課，旨在讓學生用以上知識解決乙個**性問題；從而體會數學知識之間的內在聯絡，初步體驗數學的研究方法．
體驗、探索式教學法．
課前準備：
教師準備：多**課件．
學生準備：（課前布置的作業）：任意給定乙個正方形，是否存在另乙個正方形,它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？
你是怎樣做的？你有哪些解決方法？你能提出新的問題嗎？
教學過程
一、預習檢查
教師出示第一張幻燈片（課前布置的作業）：任意給定乙個正方形，是否存在另乙個正方形,它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍？你是怎樣做的？
你有哪些解決方法？你能提出新的問題嗎？
（設計意圖：問題的提出旨在激起學生的思考慾望,為學生提供充分的思考空間,讓學生自由想象,同時為下面的研究作好鋪墊.）
師：同學們，老師布置的預習作業完成了嗎？
生：完成了．
師：咱們來看第乙個問題：這樣的正方形存在嗎？
生：不存在！
師：你是怎麼做的？請把你的解決方法展示給大家！
生1：我舉了乙個例子：若乙個正方形的邊長為4，則它的周長和面積分別為1 6和1 6 ．如果周長變為原來的2倍32，即邊長為8，則此時面積變為64，也就是面積變為原來的4倍了．列表如下：
所以，這樣的正方形不存在．
師：這位同學舉了乙個具體的例子，而且用**形式表示，清楚明了．但他因此就下結論「這樣的正方形不存在」，同學們覺得有說服力嗎？
生2：多舉幾個例子就行了！
師：多舉幾個例子當然會增加說服力，但你畢竟不能舉盡所有的正方形呀！誰有更好的辦法？
生3：我設原正方形的邊長為a，則周長為4a，面積為a2 ．當周長變為原來的兩倍時，面積變為原來的4倍了．列表如下：
所以，這樣的正方形不存在．
師：你認為這樣就有說服力了嗎？
生3：是的.這裡的a表示一切符合題意的數，既包括剛才同學的例子，也包括同學們未舉出的例子，所以我認為有說服力．
（掌聲）
師：同學們！大家同意生3的觀點嗎？
生：同意！
師：我很贊成生3的做法，但如果你剛開始想不到用字母，也可以先用具體的資料，然後再過渡到字母，這是咱們解決數學問題的一種方法，先具體再抽象，由特殊到一般．先從非常熟悉的簡單數字開，再慢慢過渡到抽象字母，從而讓你的驗證過程具有說服力．還有其他方法嗎？
生4：我還有一種解決方法，我用相似的知識來解決．所有的正方形都相似，而相似圖形的面積比等於周長比的平方，因此周長變為原來的2倍時，面積一定變為原來的4倍．所以周長和面積同時變為原來的2，這樣的正方形是不存在的．
（掌聲想起！）
師：生4太聰明了，用非常簡單的知識解決了問題，讓我們心服口服！現在第乙個問題解決了，大家意見一致，這樣的正方形不存在！那麼你提出新的問題了嗎？
生5：是否存在乙個正方形，它的周長和面積同時變為原來的一半？
生6：是否存在乙個矩形，它的周長和面積同時變為原來的2倍？
生7：是否存在乙個矩形，它的周長和面積同時變為原來的一半？
生8：是否存在乙個菱形，它的周長和面積同時變為原來的3倍？
生9：是否存在乙個梯形，它的周長和面積同時變為原來的一半？
師：同學們太棒了，能提出問題就說明有一定的創新意識．現在咱們嘗試解決生6提出的問題．
二、課題**
中心問題：是否存在乙個矩形，它的周長和面積同時變為原來的2倍？
師：同學們，我提乙個問題：所有的矩形都相似嗎？
生：不一定．
師：那麼用生4說的相似知識能解決這個問題嗎？
生：不能．
師：那麼咱們應該如何**這個問題呢？
生：從具體的數字開始！
師：說得非常好．下面各組給自己**的矩形規定乙個具體的長和寬.
小組報數：第一組2和1，第二組3和1，第三組3和2，第四組1和2，第五組3和2，第六組2和1．
師：各小組選的資料非常好，在研究具體數字的時，數越簡單越好，現在各小組成員先獨立思考，再合作交流．
小組活動，教師巡視，發現有個別小組和個別同學無從下手．教師參與這個小組的合作討，然後繼續巡視指導．
（設計意圖：在巡視指導時對於有困難的小組及學生給予第一種方法的指導.巡視時,注意每一組的方法,是不是把幾種方法都涉及了,若沒有涉及,及時進行指導,以便在學生展示成果時,讓學生有成功的體驗.
）師：下面請各小組選一名代表來展示小組的研究成果．
第一組：我們有兩種方法，先說第一種方法．設新矩形的長為x，則
x(6－x)＝4，
x2－6 x＋4＝0．
b2－4ac＝36－4×1×4＝36－16＝20＞0，
∴ 這個方程有解．
∴ 這樣的矩形存在．
（設計意圖：通過簡單情況的研究,積累經驗,為後面的證明提供方法.）
師：這種方法非常好，列表使人一目了然．第二種方法呢？
第一組：設新矩形的長為x，則
，x2－6x+4=0．
以下與第一種解法相同．
（若學生在展示時沒有涉及第二種方法,教師要給予補充.）
師：這兩種方法看上去好像一樣，但有所不同．同學們找找不同點在哪？
生10：方法一是用周長關係表示寬、面積關係列方程；而方法二是以面積關係表示寬、周長關係列方程．方法一列的是一元二次方程，而方法二列的是分式方程．.
師：這兩種方法都很好.同學們選擇一下，哪一種方法在具體做題時不易出差錯？
生：方法一．
師：為什麼？
生：方法二還須檢驗，麻煩！
師：好，第一組的成果很好，而且他們有了乙個肯定的結論.和他們的方法不一樣的繼續展示．
第六組：設新矩形的長為x、寬為y，則
2(x+y)=2，
xy=4．
化簡得x+y=6
xy=4
由①，得y=6-x
把③代入②，得x(6-x)=4，
x 2-6x+4=0．
以下與第一組的方法一相同．
師：這個小組是用方程組來做的，也很好．還有不同的方法嗎？
第二組：設新矩形的長為x，寬為y，則
∴圖象如圖所示，兩個圖象有交點．
∴這樣的矩形存在.
（若學生展示時沒有涉及這種方法,教師可視時間情況予以補充）
師：這個小組把咱們學過的一次函式的圖象及反比例函式的圖象結合在一起解決今天的問題,值得表揚.還有其他方法嗎？
生：沒有了．
師：現在咱們將這幾種方法進行比較，有共同點嗎？請小組合作討論並回答．.
生11：前三種方法最後都出現了一元二次方程x2-6x+4=0，但方法二和方法三是列分式方程或二元方程組後轉化為一元二次方程的，不如第一種方法直接得到一元二次方程好．最後一種方法在實際操作時，出現誤差的可能性很大．
師：大家認同他的觀點嗎？
生：認同！
（設計意圖：從不同角度分析和解決問題,培養學生的創新思維.同時使學生體會解決問題方法的多樣性及在合作交流中獲得知識的愉悅．）
師：咱們繼續這節課的**．剛才大家都給自己的研究乙個肯定的結論，這樣就可以給咱們的中心問題乙個肯定的結論嗎？
生：不行．
師：那怎麼辦？
生：由特殊到一般，由具體的數字到抽象的字母．
師：說得好,再給你**的矩形乙個長和寬,咱們先讓長和寬其中乙個為字母．
小組報數：第一組n和1，第二組m和1，第三組1和a，第四組1和b，第五組m和2，第六組a和1．
師：好，現在各小組開始**．
小組合作，教師參與其中．
師：成果展示．
第三組：設新矩形的長為x，則
x(2+2a-x)=2a，
x2-(2+2a)x+2a=0．
[-(2+2a)]2-4×1×2a
=4+8a+4a2-8a
=4+4a2＞0，
∴ 這個方程有解．
∴ 這樣的矩形存在．
師：第三組的同學做得非常好．下面咱們請第五組的同學上來展示．
第五組：設新矩形的長為x，則
x(2m+4-x)=4m，
x2-(2m+4)x+4m =0．
[-(2m+4)]2-4×1×4m
=4m2+16m+16-16m
=4m2+16＞0，
∴ 此方程有解．
∴ 這樣的矩形存在．
師：這兩組同學都對自己**的問題給出了肯定的結論．其他組呢？
生：存在這樣的矩形．
師：剛才咱們**了長和寬其中有乙個為字母的情況，同學們都認為這樣的矩形存在．那麼現在可以給中心問題乙個肯定的結論了嗎？
生：不行．
師：還須做什麼工作？
生12：**長和寬都為字母的情況！
師：好，下面咱們再給矩形規定長為m，n，全體同學一起**這個問題，看看是否存在乙個矩形，它的周長和面積同時變為原矩形的兩倍．
教師巡視學生的**過程．
（設計意圖：讓學生充分體會「從特殊到一般」的研究策略是一種解決數學問題的重要方法,培養學生嚴謹的數學思維和善於歸納總結的良好學習習慣.）
師：這樣的矩形存在嗎？
生：存在！
師：請生13來展示一下**成果．
生13：設新矩形的長為x，則
x(2m+2n-x)=2mn，
x2-(2m+2n)x+2mn =0．
[-(2m+2n)]2-4×1×2mn
=4m2+8mn+4n2-8mn
=4m2+4n2＞0，
∴ 這個方程有解．
∴ 這樣的矩形存在．
師：同學們有成就感嗎？
生：有！
第5章課題學習猜想 證明與拓廣
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課題學習 猜想 證明與拓廣
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《猜想證明與拓廣 1 》教學設計
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