2023年4月《初等數論》自考試卷答案（安徽）
四、證明題（每小題10分，3題共30分）
1.證明：形如4n+3（n為非負整數）的素數有無限多個.
證明：用反證法
若形如的素數為有限個，設為. (整個證明的思想是用反正法，先設形如4n+3的素數只有有限個，設為，再找到4n+3形式的數p,並且這個p是不等於的，這樣就與我們假設的有限個就矛盾了)
令現在構造乙個數q，通過變形我們知道q也是4n+3形式的數，顯然（若相等則有，這不可能），若q已經為素數，就找到了不等於的素數q，定理已經得證，若q不是素數，我們考慮它的素因數，在下面的步驟）
顯然都除不盡. （反證法，若能除盡，即，而由上面可知，則有，矛盾）
若q為素數，而，，定理已經得證. （這個結論上面的注已經說明）
現在考察q不是素數，那麼它必有素因數乙個數能分解為若干素數的乘積）
此式子說明4n+1形式的乘積還是4n+1的形式）
而一定不能全是形式素因數，
一定還有形式的素因數p因為q也是4n+3的形式，若全是4n+1的形式，它們的乘積得不到4n+3的形式，故一定還有形式素因數p. 由假設知q是奇數，它的因數肯定都是奇數，所以它的因數要麼是4n+1的形式，要麼是4n+3的形式，不可能是4n+2與4n+4的形式（因為這兩個還是偶數））
且不是中的乙個，與假設矛盾. （前面已經證明都除不盡，而p是q的因數，因此p能整除q，故p不是中的乙個）
故形如的素數有無限多一開始我們假設的是有限個，k個，而現在我們找到了不等於的其它的4n+3形式的素數p，順環往復，這說明有限個的假設不正確，故形如4n+3的素數有無限多個）
注：主要步驟就是黑字的部分，後面的彩色的字是我做的註解，做題目的時候可以不寫。
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