四證明題（每題10分）
第十章多元函式微分學
1. （10分-中等）證明:函式在處可導但不可微。
解: 。因為
，所以當沿直線趨向時，（），上式=。所以在處可導但不可微。
2. （10分-中等）設，證明。
解: 。故
3．（10分-中等）試證在點處不連續，但一階偏導數存在；
證: 因為，所以不存在，進而在點不連續。但，。因此，在不連續但可導。
4．（10分-難）證明函式的偏導數若在點的某一鄰域內存在且有界，則函式必在該點連續。
證: 設，，則
（）其中。所以，即在點處連續。
5．（10分-難）求函式的偏導數，並研究在處偏導數的連續性及函式的可微性。
證: 。同理。因為不存在，所以在處不連續。同理，在處不連續。令，，則
所以在處可微。
6、（10分-難）設，證明
證明：設2分則5分
7分10分
7、（10分-中等）設具有二階連續偏導數，且，證明：的充要條件是：
證明：必要性：
（3分）
充分性：
由知即7分）10分）
第十一章隱函式求導
1、（10分-中等）證明由方程所確定的隱函式滿足關係式,其中具有連續的一階偏導數。
證明3分)
(8分)
10分)
2、（10分-難）試證曲面上任一點的切平面在三個座標軸上的截距之和等於常數。
證明：曲面上點處的切平面法向量
3分切平面方程為
即在三座標軸上截距8分
三截距之和為為常數10分
3、（10分-難）證明曲面上任一點處的法線都平行於平面，其中函式具有一階連續偏導數，為常數。
證明：曲面上點處的法線方向向量
4分平面法向量
即8分故法線平行於平面10分
4、（10分-難）設平面曲線的方程為，其中具有一階連續偏導數且不全為零，為外一點，是到上點距離最近的一點，證明是曲線在點處的法線。
證明：上點到點的距離平方
令4分則由拉格朗日乘數法，可知在點滿足
由8分在點的法線向量為
由於，且過點，因此是曲線在點處的法線10分
5、（10分-難）證明曲面上任一點處的切平面平行於直線，其中函式可微。
證明：曲面上點處的切平面法向量
4分直線方向向量
即8分故切平面平行於直線10分
6、（10分-難）證明曲面（其中各函式均具有乙個連續偏導數）上任一點處的法向量為，其中稱為雅可比行列式，且設這裡出現的三個雅可比行列式不同時為零。
證明：對於任一點，設
則曲面方程可看成為
其中由隱函式確定4分
8分曲面的法向量
10分7、（10分-中等）函式由方程所確定，可微，求證。
證明：4分)
(8分)
10分)
8、（10分-中等）證明由方程組所確定的函式滿足。
證明： (6分)
8分)10分)
第十二章反常積分
1、（10分-中等）
證明： 2分
4分8分10分2、（10分-中等）
證明：5分10分3、（10分-難）
證明：3分5分8分10分
4、（10分-難）
證明：3分10分5、（10分-難）
證明：5分 10分
6、（10分-中等）
證明：2分4分6分8分 10分
7、（10分-難）
證明： 3分
5分7分10分第十三章重積分
1. （10分-中等）證明
證明：改變積分次序
2. （10分-中等）證明= ；
證明：對交換積分次序
3. （10分-難）設是[0，1]上的正值連續函式，且單調遞增，證明：
證明：只要證明：
又以上兩式相加
在當時當總有被積函式大於0
即命題得證
4. （10分-中等）若是由所圍， 證明
證明：被積函式關於三個變數的位置是平行的；
積分域的圖形關於三個變數的位置是也平行
第十四章線面積分
1. （10分-中等）證明下列曲線積分在整個平面內與路徑無關，並計算積分值：
。設積分與路徑無關
原式=2. （10分-中等）驗證：當時，是某二元函式的全微分，並求。
設 存在，使當時，
3. （10分-中等）具有連續偏導數的應滿足怎樣的條件，才能使曲線積分與路徑無關。
設 當時
即當時，原曲線積分與路徑無關
4. （10分-中等）設空間閉區域由曲面與平面所圍成，為的表面外側， 為的體積。證明：
由高斯公式，有
左邊積分=
或由於關於面對稱，又是上關於的奇函式，故
原積分=0 即等式成立。
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